1. نبدأ بتوضيح قيم $a$ و $b$: $$a = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}}, \quad b = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}}$$ 2. بما أن $a$ و $b$ متساويان، يمكننا اعتبارهما كنسبة بين ضلعي المستطيل. 3. السؤال يشير إلى نسبة مقاطع عدد طاقي (عدد ذهبي)، العدد الذهبي معروف بأنه: $$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ 4. لنختبر ما إذا كانت النسبة $a$ و $b$ تمثل نسبة عدد طاقي: \begin{align*} \frac{a}{b} &= \frac{\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}}} = 1 \end{align*} لذا النسبة بينهما هي 1، وهي ليست النسبة الذهبية. 5. يمكننا تبسيط $a$: \begin{align*} a &= \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \end{align*} 6. لا يمكن التعبير عن $a$ و $b$ على شكل نسبة أعداد صحيحة بسيطة لأنهما يحتويان على جذر. 7. مساحة المستطيل = الطول × العرض = $a \times b$: \begin{align*} S &= a \times b = \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}}\right)\times \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}}\right) = \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}}\right)^2 \end{align*} بالتوسيع: \begin{align*} S &= \frac{(\sqrt{5} - 1)^2}{(\sqrt{5})^2} = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{5} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{5} \end{align*} 8. مجمل: $a$ و $b$ متساويان ولكنهما ليسا نسبة عدد ذهبي. 9. مساحة المستطيل تساوي $\frac{6 - 2\sqrt{5}}{5}$. \textbf{النتيجة:} - $a$ و $b$ متساويان وليسا نسبة عدد ذهبي. - $a$ و $b$ لا يمكن تعبيرهما على شكل نسبة أعداد صحيحة بسيطة. - مساحة المستطيل بطول $a$ وعرض $b$ هي $\frac{6 - 2\sqrt{5}}{5}$.