1.\ نبدأ بكتابة نظام المعادلات في صورة مصفوفة موسعة: $$\begin{bmatrix}1 & 9 & -1 & | & 27 \\ 1 & -8 & 16 & | & 10 \\ 2 & 1 & 15 & | & 37\end{bmatrix}$$ 2.\ نعيد ترتيب الصفوف لتسهيل الحذف إذا لزم الأمر. هنا الصف الأول يبقى كما هو. 3.\ نحذف أول عنصر في الصف الثاني عن طريق طرح الصف الأول من الصف الثاني: $$R_2 \leftarrow R_2 - R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix}1 & 9 & -1 & | & 27 \\ 0 & -17 & 17 & | & -17 \\ 2 & 1 & 15 & | & 37\end{bmatrix}$$ 4.\ نحذف أول عنصر في الصف الثالث عن طريق طرح 2 أضعاف الصف الأول من الصف الثالث: $$R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix}1 & 9 & -1 & | & 27 \\ 0 & -17 & 17 & | & -17 \\ 0 & -17 & 17 & | & -17\end{bmatrix}$$ 5.\ نطرح الصف الثاني من الصف الثالث لإلغاء العنصر في الصف الثالث والعمود الثاني: $$R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix}1 & 9 & -1 & | & 27 \\ 0 & -17 & 17 & | & -17 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0\end{bmatrix}$$ 6.\ نحلل الصف الثاني من أجل $y$ و $z$: $$-17y + 17z = -17 \Rightarrow -17y = -17 + (-17z)$$ $$y = 1 - z$$ 7.\ نستخدم الصف الأول لحساب $x$ بعد التعبير عن $y$ و $z$: $$x + 9y - z = 27\Rightarrow x + 9(1 - z) - z = 27$$ $$x + 9 - 9z - z = 27$$ $$x - 10z = 18$$ $$x = 18 + 10z$$ 8.\ لأن الصف الثالث يعبر عن 0=0، النظام له حلول لامحدودة معبر عنها بمتغير حر $z$. 9.\ نتحقق من الحل باختيار قيمة لـ $z$, مثلاً $z=0$: $$y = 1 - 0 = 1, \quad x=18 + 10 \times 0=18$$ 10.\ نعود للمعادلات الأصلية للتأكد: - $x + 9y - z = 18 + 9(1) - 0 = 18 + 9 = 27$ - $x - 8y + 16z = 18 - 8(1) + 16(0) = 18 - 8 = 10$ - $2x + y + 15z = 2(18) + 1 + 15(0) = 36 + 1 = 37$ كل المعادلات صحيحة، إذن النظام له حلول غير محدودة بمتغير حر $z$ مع $$x = 18 + 10z, \quad y = 1 - z, \quad z = z.$$