1. Problem: Znajdź wzór funkcji $f$, która każdej liczbie naturalnej $n$ przyporządkowuje największą liczbę całkowitą $k$ spełniającą nierówność $$xk^2 - 2nk - 8nk^2 < 0.$$ 2. Najpierw przepiszmy nierówność: $$xk^2 - 2nk - 8nk^2 < 0.$$ Zakładamy, że $x$ to zmienna, a $n$ jest parametrem naturalnym. Jednak w treści jest niejasność co do $x$. Przyjmijmy, że chodzi o $k^2 - 2nk - 8nk^2 < 0$, czyli nierówność względem $k$. 3. Przekształćmy nierówność: $$k^2 - 2nk - 8nk^2 < 0.$$ Połączmy wyrazy z $k^2$: $$k^2 - 8nk^2 = k^2(1 - 8n).$$ Nierówność ma postać: $$k^2(1 - 8n) - 2nk < 0.$$ 4. Rozważmy przypadki w zależności od znaku $1 - 8n$. - Jeśli $1 - 8n > 0$, czyli $n < \frac{1}{8}$, co jest niemożliwe dla $n \in \mathbb{N}$, więc ten przypadek odrzucamy. - Jeśli $1 - 8n < 0$, czyli $n \geq 1$, co jest prawdziwe dla wszystkich $n \in \mathbb{N}$. 5. Nierówność: $$k^2(1 - 8n) - 2nk < 0.$$ Przepiszmy jako: $$k^2(1 - 8n) < 2nk.$$ Ponieważ $1 - 8n < 0$, mnożąc nierówność przez $-1$ zmieniamy znak: $$k^2(8n - 1) > 2nk.$$ 6. Podzielmy obie strony przez $k$ (zakładamy $k > 0$): $$k(8n - 1) > 2n.$$ 7. Rozwiążmy nierówność względem $k$: $$k > \frac{2n}{8n - 1}.$$ 8. Funkcja $f(n)$ to największa liczba całkowita $k$ spełniająca tę nierówność, czyli $$f(n) = \left\lfloor \frac{2n}{8n - 1} \right\rfloor + 1.$$ 9. Sprawdźmy dla $n=1$: $$\frac{2 \cdot 1}{8 \cdot 1 - 1} = \frac{2}{7} \approx 0.285,$$ więc $f(1) = 0 + 1 = 1.$ Ostatecznie wzór funkcji to: $$f(n) = \left\lfloor \frac{2n}{8n - 1} \right\rfloor + 1.$$