1. **مشكلة التمرين:** لدينا دالتين عددتين $f$ و $g$ معرفتين على جداول القيم: - \(x: -4, 0, 3\) و \(g(x): 1, 3, 0\) - \(x: -3, -1, 0, 1, 2, 4\) و \(f(x): -4, 0, 2, 0, 3, 7\) نريد دراسة الدالة \(h = g \circ f\). --- 2. **إيجاد مجموعة تعريف الدالة \(h\):** الدالة \(h(x) = g(f(x))\) معرفة لكل \(x\) الذي يكون \(f(x)\) فيه من مجموعة تعريف \(g\). \(g\) معرفة عند \(-4, 0, 3\) لكن من جدول \(g\) تظهر قيم \(g(x)\) عند \(x=-4,0,3\). نلاحظ من السؤال أن \(g\) معرفة على \(x=-4,0,3\) وتُعطى خدمة كقيم عند هذه النقاط. لكن من جدول \(f\) القيم التي \(f(x)\) تأخذها هي:\(-4,0,2,3,7\). إذًا يجب أن يكون \(f(x)\) في مجموعة تعريف \(g\), أي قيم \(f(x)\) يجب أن تكون من \{ -4,0,3 \} لأن \(g\) غير معرف عند \(2\) أو \(7\). التحقق من قيم \(f(x)\): - \(f(-3) = -4\) في \(\text{def}(g)\) - \(f(-1) = 0\) في \(\text{def}(g)\) - \(f(0) = 2\) غير موجود في \(\text{def}(g)\) - \(f(1) = 0\) في \(\text{def}(g)\) - \(f(2) = 3\) في \(\text{def}(g)\) - \(f(4) = 7\) غير موجود في \(\text{def}(g)\) إذاً مجموعة تعريف \(h\) هي \(\{ -3, -1, 1, 2 \}\). --- 3. **حساب قيم \(h(x) = g(f(x))\) عند \(x = -3, 1, 4, 2\):** - \(h(-3) = g(f(-3)) = g(-4) = 1\) - \(h(1) = g(f(1)) = g(0) = 3\) - \(h(4) = g(f(4)) = g(7)\) غير معرف، إذن \(h(4)\) غير معرف - \(h(2) = g(f(2)) = g(3) = 0\) --- 4. **اتجاه تغير \(h\):** - \(f\) تزداد من \(-3\) إلى \(0\) (من -4 إلى 2) ثم تنخفض من \(0\) إلى \(1\) ثم تزداد مجددا من \(1\) إلى \(4\). - \(g\) تزداد من \(-4\) إلى \(0\) ومن ثم تنخفض من \(0\) إلى \(3\). - بمجرد أن \(h = g \circ f\) فإن تغير \(h\) يعتمد على تأثير \(f\) في \(g\). النتيجة: - من نقاط تعريف \(h\), \(-3, -1, 1, 2\): \(h(-3) = 1\), \(h(-1) = g(f(-1)) = g(0) = 3\), \(h(1) = 3\), \(h(2) = 0\) بالتالي: - \(h\) يزيد من \(-3\) إلى \(-1\) (1 إلى 3) - \(h\) يبقى ثابت تقريبا من \(-1\) إلى \(1\) (3 إلى 3) - \(h\) ينخفض من \(1\) إلى \(2\) (3 إلى 0) --- 5. **تعريف الدالتين \(p\) و \(k\) على \(D = [-4,3]\):** \[p(x) = g^2(x) + 1 = (g(x))^2 + 1, \quad k(x) = \sqrt{g(x)}\] - ندرس تغير \(p\) على المجالات \([0,3]\) ثم \([-4,0]\) - ندرس تغير \(k\) على المجالين \([-4,0]\) ثم \(]0,3]\) لاحظ أن: - \(g(-4) = 1, g(0) = 3, g(3) = 0\) - \(g\) تزداد من \(1\) إلى \(3\) ثم تنخفض إلى \(0\). لـ \(p(x) = (g(x))^2 + 1\): - \((g(x))^2\) تزداد عندما \(g(x)\) تزداد في \([0,3]\) من 3 إلى 0 (تناقص), لذلك \(p\) ينقص هناك. - على \([-4,0]\), حيث \(g\) يزداد من 1 إلى 3, \(p(x)\) تزداد. لـ \(k(x) = \sqrt{g(x)}\): - على \([-4,0]\), \(g(x)\) تزداد من 1 إلى 3، إذن \(k\) تزداد. - على \(]0,3]\), \(g(x)\) تنخفض من 3 إلى 0، إذن \(k\) تنخفض. --- 6. **التمرين الثاني:** معطى: \[ f(x) = x^2 + \alpha x - \beta \] - \(f\) تقاطع محور التراتيب (محور الصادات) في نقطة ترتيبها 5 (أي \(f(0) = 5\)) - \(f\) يمر بالنقطة \(A(3, -4)\) 7. نعوض في \(f(0) = 5\) و \(f(3) = -4\): \[ f(0) = 0^2 + \alpha \cdot 0 - \beta = -\beta = 5 \Rightarrow \beta = -5 \] \[ f(3) = 3^2 + 3\alpha - \beta = 9 + 3\alpha - (-5) = 14 + 3\alpha = -4 \Rightarrow 3\alpha = -18 \Rightarrow \alpha = -6 \] 8. إذن: \[ f(x) = x^2 - 6x + 5 \] 9. إعادة كتابة \(f(x)\) بدلالة مربعات: \[ f(x) = (x - 3)^2 - 4 \] 10. التعبير المركب:\ \[ f(x) = (x - 3)^2 - 4 = u(x)^2 + v(x) \ \text{حيث} \ u(x) = x-3, \ v(x) = -4 \] 11. اتجاه تغير \(f\): - \(f(x)\) دالة تربيعية بمركز تقويم \(x = 3\) - \(f(x)\) تنقص على المجال \(]-\infty, 3]\) نظرا لأن المعامل أمام \(x^2\) موجب - \(f(x)\) تزداد على المجال \(]3, +\infty[\) 12. جدول التغييرات: | المجال | اتجاه التغير | قيم \(f(x)\) | |-------------|--------------|----------------| | ]-\infty, 3] | تناقص | من +\infty إلى -4 | | [3, +\infty[ | ازدياد | من -4 إلى +\infty |