1. مسئله را بیان می‌کنیم: تابع داده شده است $f(x) = a - 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{b} x\right)$ و چهارضلعی $OABC$ مربع است. باید مقدار $f\left(\frac{1}{3}\right)$ را پیدا کنیم. 2. چون $OABC$ مربع است، طول اضلاع برابر است و زوایای قائمه دارد. فرض کنیم ضلع مربع طول $1$ داشته باشد. 3. نقاط $O(0,0)$، $A(0,1)$، $B(1,1)$ و $C(1,0)$ هستند. 4. تابع $f(x)$ احتمالاً مختصات $y$ نقاط روی منحنی را نشان می‌دهد. با توجه به شکل، $f(0) = a - 2 \sin^2(0) = a$ باید برابر با $1$ (ارتفاع $A$) باشد، پس $a=1$. 5. همچنین $f(1) = a - 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{b} \cdot 1\right) = 0$ (ارتفاع $C$) است. 6. با جایگذاری $a=1$ داریم: $$1 - 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{b}\right) = 0 \implies \sin^2\left(\frac{\pi}{b}\right) = \frac{1}{2} \implies \sin\left(\frac{\pi}{b}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 7. بنابراین: $$\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4} \implies b = 4$$ 8. حال مقدار $f\left(\frac{1}{3}\right)$ را محاسبه می‌کنیم: $$f\left(\frac{1}{3}\right) = 1 - 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{3}\right) = 1 - 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{12}\right)$$ 9. مقدار $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ است. 10. بنابراین: $$\sin^2\left(\frac{\pi}{12}\right) = \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$$ 11. پس: $$f\left(\frac{1}{3}\right) = 1 - 2 \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 12. جواب گزینه 2 یعنی $\frac{\sqrt{3}}{2}$ است.