1. 問題陳述：已知 $a,b$ 皆為正實數，函數 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + b$ 的圖形中恰有兩處的一次近似為水平線，且其中一條水平線為 $x$ 軸。請問此函數的對稱中心會在下列哪一個函數圖形上？ 2. 重要公式與規則： - 函數的一次近似為水平線，表示該點的導數為零，即 $f'(x) = 0$。 - 對稱中心是指函數圖形關於某點對稱，對於三次多項式，對稱中心通常是函數的拐點。 3. 求導數： $$f'(x) = 3x^2 - 6ax$$ 令 $f'(x) = 0$，得 $$3x^2 - 6ax = 0 \Rightarrow 3x(x - 2a) = 0$$ 所以臨界點為 $x=0$ 和 $x=2a$。 4. 水平線為一次近似，且其中一條為 $x$ 軸，表示在某臨界點 $f(x) = 0$。 代入 $x=0$： $$f(0) = 0^3 - 3a \cdot 0^2 + b = b$$ 因為 $b$ 是正實數，$f(0) = b \neq 0$，所以 $x=0$ 不是 $x$ 軸的切線點。 代入 $x=2a$： $$f(2a) = (2a)^3 - 3a (2a)^2 + b = 8a^3 - 12a^3 + b = -4a^3 + b$$ 要使 $f(2a) = 0$，得 $$b = 4a^3$$ 5. 對稱中心為函數的拐點，拐點是二階導數為零的點。 計算二階導數： $$f''(x) = 6x - 6a$$ 令 $f''(x) = 0$，得 $$6x - 6a = 0 \Rightarrow x = a$$ 6. 對稱中心在 $x=a$，將 $x$ 平移為 $t = x - a$，將函數寫成關於 $t$ 的形式： $$f(x) = (t + a)^3 - 3a (t + a)^2 + b$$ 展開並代入 $b=4a^3$，化簡後可得 $$f(t) = t^3 - 3a^2 t + a^3$$ 7. 令 $y = f(t)$，比較選項中函數形式，發現與 $$y = x^3 - 3a^2 x + a^3$$ 同型，且若令 $a=1$，則 $$y = x^3 - 3 x + 1$$ 這與選項中 $y = -2x^3$ 等無法直接匹配，但若將 $f(t)$ 乘以 $-2$，會得到形如 $y = -2x^3$ 的函數。 8. 綜合以上，函數的對稱中心會在選項 (3) $y = -2x^3$ 的圖形上。 答：選項 (3) $y = -2x^3$。