1. נניח את הבעיה: נתונה הפונקציה $$h(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$$ על התחום $$(-\infty, \infty)$$. 2. נבדוק את תחום ההגדרה: המונה הוא $$x^2 - 1$$ והמכנה הוא $$x^2 + 1$$. מאחר ש-$$x^2 + 1 > 0$$ לכל $$x$$ ממשי, הפונקציה מוגדרת על כל המספרים הממשיים, כלומר התחום הוא $$(-\infty, \infty)$$. 3. נחשב את תחום הערכים (טווח הפונקציה): - נציב $$y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$$. - נכפיל ב-$$x^2 + 1 > 0$$ ונקבל: $$y(x^2 + 1) = x^2 - 1$$. - נפתח: $$yx^2 + y = x^2 - 1$$. - נעביר אגפים: $$yx^2 - x^2 = -1 - y$$. - יוצא: $$x^2(y - 1) = -1 - y$$. - לכן: $$x^2 = \frac{-1 - y}{y - 1}$$. 4. מאחר ש-$$x^2 \geq 0$$, התנאי הוא: $$\frac{-1 - y}{y - 1} \geq 0$$. 5. ננתח את אי השוויון: - המונה: $$-1 - y = -(y + 1)$$. - המכנה: $$y - 1$$. 6. נבדוק את סימני המונה והמכנה: - המונה חיובי כאשר $$y < -1$$. - המכנה חיובי כאשר $$y > 1$$. 7. נבדוק את תחומי החיוביות של השבר: - אם המונה והמכנה שניהם חיוביים או שניהם שליליים, השבר חיובי. 8. נבחן את המקרים: - אם $$y < -1$$, המונה חיובי, המכנה שלילי (כי $$y - 1 < 0$$), השבר שלילי. - אם $$-1 < y < 1$$, המונה שלילי, המכנה שלילי, השבר חיובי. - אם $$y > 1$$, המונה שלילי, המכנה חיובי, השבר שלילי. 9. לכן, התנאי מתקיים רק כאשר $$-1 < y < 1$$. 10. נבדוק את הערכים בקצוות: - ב-$$x=0$$, $$h(0) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$$. - כאשר $$x \to \pm \infty$$, $$h(x) \to 1$$ (מכיוון שהמעלה והמכנה הם דרגה שנייה עם מקדמים שווים). 11. סיכום: טווח הפונקציה הוא $$[-1, 1)$$. 12. מבין האפשרויות הנתונות, התשובה המתאימה היא: $$[-1, 1)$$ (אפשרות .b).