1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $$f(x) = x \sqrt{x^2 - 1}$$ ونريد دراسة سلوكها على المجال $$I = [1, +\infty[\,$$ ومقارنتها مع الخط المستقيم $$y = x$$. 2. **فهم الدالة:** الدالة تحتوي على جذر تربيعي $$\sqrt{x^2 - 1}$$، لذا يجب أن يكون التعبير داخل الجذر غير سالب، وهذا يفسر سبب اختيار المجال $$x \geq 1$$. 3. **دراسة التقاطع مع الخط $$y = x$$:** نريد حل المعادلة $$f(x) = y = x$$ أي $$x \sqrt{x^2 - 1} = x$$ 4. **حل المعادلة:** - إذا كان $$x = 0$$، لا ينتمي إلى المجال لأن $$x \geq 1$$. - إذا كان $$x \neq 0$$، يمكن قسمة الطرفين على $$x$$: $$\sqrt{x^2 - 1} = 1$$ 5. **تربيع الطرفين:** $$x^2 - 1 = 1^2 = 1$$ $$x^2 = 2$$ $$x = \sqrt{2}$$ (لأن $$x \geq 1$$) 6. **النتيجة:** نقطة التقاطع الوحيدة بين الدالة والخط هي عند $$x = \sqrt{2}$$، و $$y = x = \sqrt{2}$$ 7. **ملاحظة على السلوك:** - عند $$x=1$$، $$f(1) = 1 \times \sqrt{1 - 1} = 0$$ - عند $$x = \sqrt{2}$$، $$f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \times \sqrt{2 - 1} = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$$ - عند قيم أكبر من $$\sqrt{2}$$، الدالة $$f(x)$$ أكبر من $$x$$ لأن الجذر يزيد. **الخلاصة:** الدالة $$f(x) = x \sqrt{x^2 - 1}$$ تقاطع الخط $$y = x$$ عند $$x = \sqrt{2}$$ فقط على المجال $$[1, +\infty[$$.