1. Muammo: $f(x) = 2x^2$ va $\varphi(x) = x + 1$ bo'lsa, $f(\varphi(x)) = \varphi(f(x))$ tenglama nechta $x$ qiymatida to'g'ri kelishini toping. 2. Formulalar: $$f(\varphi(x)) = 2(x+1)^2 = 2(x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 4x + 2$$ $$\varphi(f(x)) = 2x^2 + 1$$ 3. Tenglama: $$2x^2 + 4x + 2 = 2x^2 + 1$$ 4. Soddalashtirish: $$4x + 2 = 1 \Rightarrow 4x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$$ 5. Natija: Tenglama faqat bitta $x$ qiymatida to'g'ri keladi. --- 6. Muammo: $f(x) = |x + 2| + |x + 8|$ funksiyaning qiymatlar sohasini toping. 7. $|x+2|$ va $|x+8|$ har doim $\geq 0$ bo'lib, ularning yig'indisi ham $\geq 0$. 8. Minimal qiymatni topish uchun $x$ ni $-8$ va $-2$ orasida tekshiramiz. 9. $x \in [-8, -2]$ da: $$f(x) = (x+2) + (-(x+8)) = x+2 - x - 8 = -6$$ 10. Ammo $f(x)$ qiymati $-6$ bo'lishi mumkin emas, chunki $|x+2|$ va $|x+8|$ har doim musbat yoki nol. 11. To'g'ri hisoblash: $$f(x) = |x+2| + |x+8|$$ minimal qiymat $x = -5$ da bo'ladi: $$f(-5) = |-5+2| + |-5+8| = | -3| + |3| = 3 + 3 = 6$$ 12. Shunday qilib, qiymatlar sohasining minimal qiymati 6 va u $[6, \infty)$ intervalida. --- 13. Muammo: Agar $f(x-1) = x^2 + 3x - 2$ bo'lsa, $f(x)$ ni toping. 14. $f(x-1) = (x)^2 + 3x - 2$ dan $t = x-1$ deb olamiz, ya'ni $x = t + 1$. 15. Shunday qilib: $$f(t) = (t+1)^2 + 3(t+1) - 2 = t^2 + 2t + 1 + 3t + 3 - 2 = t^2 + 5t + 2$$ 16. Natija: $f(x) = x^2 + 5x + 2$ --- 17. Muammo: $y = |x - 1| - 5$ va $y = 0$ grafiklarining kesishgan nuqtalarining $x$ koordinatalarining kvadratlari yig'indisini toping. 18. Tenglama: $$|x - 1| - 5 = 0 \Rightarrow |x - 1| = 5$$ 19. $x - 1 = 5$ yoki $x - 1 = -5$ bo'lishi mumkin. 20. $x = 6$ yoki $x = -4$ 21. Kvadratlar yig'indisi: $$6^2 + (-4)^2 = 36 + 16 = 52$$ --- 22. Muammo: Grafik $V$ shaklida, tepa nuqtasi $(0,1)$ da, va $(-1,0)$ va $(1,0)$ nuqtalaridan o'tadi. 23. Bu $y = |x| + 1$ funksiyasining grafigi, chunki $|x|$ ning tepa nuqtasi $(0,0)$, +1 esa uni yuqoriga suradi. --- 24. Muammo: Grafik $V$ shaklida, tepa nuqtasi $(0,0)$ da, chap qismi $(-1,1)$ nuqtasidan o'tadi. 25. Bu $y = |x + 1|$ funksiyasining grafigi, chunki $|x+1|$ ning tepa nuqtasi $(-1,0)$, va $(-1,1)$ nuqtasi chap qismda joylashgan. --- 26. Muammo: $x^2 + y^2 = 64$ aylana va $y = x^2 + p$ funksiyaning grafigi uchta umumiy nuqtaga ega bo'lishi uchun $p$ ning qiymatini toping. 27. Aylana: $$x^2 + y^2 = 64$$ Parabola: $$y = x^2 + p$$ 28. Aylana va parabola kesishgan nuqtalar uchun: $$x^2 + (x^2 + p)^2 = 64$$ 29. Bu tenglama 3 yechimga ega bo'lishi uchun diskriminant va funksiya xususiyatlarini tekshirish kerak. 30. $y = x^2 + p$ parabola bo'lib, aylana bilan uchta umumiy nuqta bo'lishi uchun parabola aylana bilan ikki nuqtada kesishishi va teginish nuqtasi bo'lishi kerak. 31. Teginish nuqtasi uchun aylana va parabola tenglamalarini birlashtirib, diskriminantni nolga tenglashtiramiz. 32. Hisoblash natijasida $p = -12$ bo'lganda uchta umumiy nuqta hosil bo'ladi. --- Javoblar: 18) B) 1 19) D) [6; ∞) 20) C) $x^2 + 5x + 2$ 21) D) 52 22) C) $y = |x| + 1$ 23) B) $y = |x + 1|$ 24) $p = -12$