1. **بيان المسألة:** لدينا الدالة $$f(x) = x \sqrt{x^2 - 1}$$ ونريد دراسة خصائصها ضمن المجال $$I = ]-\infty, +1]$$. 2. **تحديد المجال:** الجذر التربيعي يتطلب أن يكون التعبير داخل الجذر غير سالب، أي: $$x^2 - 1 \geq 0 \implies |x| \geq 1$$ وبما أن المجال المعطى هو $$]-\infty, +1]$$، إذن المجال الفعلي للدالة هو $$(-\infty, -1] \cup [1, +1] = (-\infty, -1] \cup \{1\}$$. 3. **دراسة الدالة:** الدالة معرفة فقط عندما $$|x| \geq 1$$، أي خارج الفترة $$(-1,1)$$. 4. **تبسيط الدالة:** يمكن كتابة الدالة كالتالي: $$f(x) = x \sqrt{x^2 - 1}$$ 5. **قيم خاصة:** عند $$x=1$$: $$f(1) = 1 \times \sqrt{1 - 1} = 0$$ 6. **سلوك الدالة عند القيم الكبيرة:** عندما $$x \to -\infty$$، $$f(x) \approx x \times |x| = x \times (-x) = -x^2 \to -\infty$$ 7. **الاستنتاج:** الدالة معرفة على $$(-\infty, -1]$$ و $$\{1\}$$ فقط ضمن المجال المعطى، وتحقق قيم حقيقية فقط في هذه النقاط. **الجواب النهائي:** المجال هو $$(-\infty, -1] \cup \{1\}$$ والدالة تعطى بالقيمة $$f(x) = x \sqrt{x^2 - 1}$$ حيث $$|x| \geq 1$$.