1. مسئله: تابع $f(x) = \sqrt[3]{x + 1}$ داده شده است. مقدار تابع $f\big((f(x)-1)^3\big)$ را بیابید. 2. فرمول و قوانین مهم: تابع مکعبی معکوس تابع مکعبی است، یعنی اگر $y = \sqrt[3]{z}$ آنگاه $y^3 = z$. 3. ابتدا مقدار داخل تابع را محاسبه می‌کنیم: $$f(x) = \sqrt[3]{x + 1}$$ پس: $$f(x) - 1 = \sqrt[3]{x + 1} - 1$$ 4. حال مقدار داخل تابع دوم را مکعب می‌کنیم: $$\big(f(x) - 1\big)^3 = \big(\sqrt[3]{x + 1} - 1\big)^3$$ 5. از خاصیت مکعبی معکوس تابع مکعبی داریم: $$f\big((f(x)-1)^3\big) = \sqrt[3]{\big(\sqrt[3]{x + 1} - 1\big)^3 + 1}$$ 6. چون $\sqrt[3]{x + 1}$ مکعب شده و سپس 1 جمع شده است، پس: $$= \sqrt[3]{(\sqrt[3]{x + 1})^3 - 3(\sqrt[3]{x + 1})^2 + 3(\sqrt[3]{x + 1}) - 1 + 1}$$ 7. اما ساده‌ترین راه این است که بدانیم: $$f\big((f(x)-1)^3\big) = \sqrt[3]{(f(x)-1)^3 + 1}$$ و چون $f(x) = \sqrt[3]{x + 1}$ پس: $$(f(x)-1)^3 + 1 = (\sqrt[3]{x + 1} - 1)^3 + 1$$ 8. با توجه به خاصیت تابع مکعبی و معکوس آن، این مقدار برابر است با $x$. 9. بنابراین: $$f\big((f(x)-1)^3\big) = \sqrt[3]{x + 1 - 1} = \sqrt[3]{x}$$ پاسخ نهایی گزینه 3 یعنی $\sqrt[3]{x}$ است.