1. **بيان المشكلة:** لدينا الدالة $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ معرفة على المجال $D = ]-\infty, -1[ \cup ]-1, +\infty[$. 2. **إثبات مجال تعريف الدالة:** الدالة غير معرفة عند $x = -1$ لأن المقام يصبح صفرًا. إذن، $D = ]-\infty, -1[ \cup ]-1, +\infty[$. 3. **حساب النهاية عند $-\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}.$$ نقسم البسط والمقام على $x$ (أكبر قوة في المقام): $$= \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 1 + 0}{1 + 0} = -\infty.$$ 4. **حساب النهاية عند $-1^-$:** نلاحظ أن المقام يقترب من صفر من جهة سالبة، والبسط عند $x = -1$ هو: $$(-1)^2 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 > 0.$$ إذًا: $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty.$$ 5. **دراسة قابلية الاشتقاق عند $x = -1$:** الدالة غير معرفة عند $x = -1$، إذن لا يمكن اشتقاقها هناك. 6. **تحقق من الهوية:** $$f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{(x + 1)x + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1}.$$ 7. **إثبات أن المستقيم $y = x$ مماس لمنحنى $f$ عند $+\infty$ و $-\infty$:** عند $x \to \pm \infty$, $f(x) \approx x + \frac{1}{x+1} \to x$, والميل: $$f'(x) = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} \to 1,$$ أي أن الميل يقترب من ميل المستقيم $y = x$، إذن المستقيم مماس عند اللانهاية. 8. **دراسة النسبة التناسبية للمستقيم $y = x$ بالنسبة لمنحنى $f$:** النسبة هي الفرق: $$f(x) - x = \frac{1}{x+1}.$$ عندما $x \to +\infty$, الفرق يقترب من صفر موجب، وعندما $x \to -\infty$, الفرق يقترب من صفر سالب. 9. **حساب مشتقة الدالة:** باستخدام القاعدة: $$f'(x) = \frac{(2x + 1)(x + 1) - (x^2 + x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x + x + 1 - x^2 - x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}.$$ 10. **النقطة $(-1, -1)$ مركز تماثل:** نحسب $f(-1) = \text{غير معرفة}$ لكن نلاحظ أن المنحنى متماثل حول هذه النقطة هندسياً. 11. **النتيجة النهائية:** - مجال تعريف الدالة هو $D = ]-\infty, -1[ \cup ]-1, +\infty[$. - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. - $\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$. - $f(x) = x + \frac{1}{x+1}$. - المستقيم $y = x$ مماس لمنحنى $f$ عند اللانهاية. - مشتقة الدالة $f'(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$. - النقطة $(-1, -1)$ مركز تماثل للمنحنى. **الجواب النهائي:** $$f(x) = x + \frac{1}{x+1}, \quad D = ]-\infty, -1[ \cup ]-1, +\infty[,$$ $$f'(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2},$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty,$$ والمستقيم $y = x$ مماس للمنحنى عند اللانهاية.