1. Vamos trabalhar com a função quadrática, que tem a forma geral $$f(x) = ax^2 + bx + c$$, onde $a$, $b$ e $c$ são números reais e $a \neq 0$. 2. A tarefa é: para a função $$f(x) = 2x^2 - 4x + 1$$, encontre: - O vértice da parábola. - As raízes da função (pontos onde $f(x) = 0$). - O valor de $f(3)$. 3. Para encontrar o vértice, usamos as fórmulas $$x_v = -\frac{b}{2a}$$ e $$y_v = f(x_v)$$. 4. Para as raízes, aplicamos a fórmula de Bhaskara: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$. 5. Para calcular $f(3)$, substituímos $x$ por 3 na função e simplificamos. 6. Vamos calcular o vértice: $$x_v = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1$$ $$y_v = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$$ Portanto, o vértice é $(1, -1)$. 7. Agora as raízes: $$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 16 - 8 = 8$$ $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ As raízes são $$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ e $$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$. 8. Finalmente, o valor de $f(3)$: $$f(3) = 2(3)^2 - 4(3) + 1 = 2 \times 9 - 12 + 1 = 18 - 12 + 1 = 7$$ Resposta final: - Vértice: $(1, -1)$ - Raízes: $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ e $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ - Valor de $f(3)$: 7