1. **Énoncé du problème :** Montrer que $$2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \sqrt{5}}}} = \sqrt{5}$$ 2. **Analysons l'expression imbriquée du dénominateur à partir du bas :** Soit $$x = 2 + \sqrt{5}$$ 3. **Calculons le terme juste au-dessus :** $$y = 1 + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2 + \sqrt{5}}$$ Rationnalisons le dénominateur: $$\frac{1}{2 + \sqrt{5}} = \frac{2 - \sqrt{5}}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} = \frac{2 - \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{2 - \sqrt{5}}{-1} = \sqrt{5} - 2$$ Donc : $$y = 1 + (\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5} - 1$$ 4. **Calculons maintenant le terme au-dessus de y :** $$z = 1 + \frac{1}{y} = 1 + \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$$ Rationnalisons à nouveau : $$\frac{1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{\sqrt{5} + 1}{5 - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$$ Donc : $$z = 1 + \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$$ 5. **Enfin, calculons l'expression complète :** $$E = 2 + \frac{1}{z} = 2 + \frac{1}{\frac{5 + \sqrt{5}}{4}} = 2 + \frac{4}{5 + \sqrt{5}}$$ Rationnalisons : $$\frac{4}{5 + \sqrt{5}} = \frac{4(5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5})(5 - \sqrt{5})} = \frac{4(5 - \sqrt{5})}{25 - 5} = \frac{4(5 - \sqrt{5})}{20} = \frac{5 - \sqrt{5}}{5} = 1 - \frac{\sqrt{5}}{5}$$ Donc : $$E = 2 + 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} = 3 - \frac{\sqrt{5}}{5}$$ 6. **Vérifions que cette expression est égale à $\sqrt{5}$ :** Multiplions les deux membres par 5 : $$5E = 15 - \sqrt{5}$$ Si $E = \sqrt{5}$, alors : $$5\sqrt{5} = 15 - \sqrt{5} \Rightarrow 5\sqrt{5} + \sqrt{5} = 15 \Rightarrow 6\sqrt{5} = 15 \Rightarrow \sqrt{5} = \frac{15}{6} = 2.5$$ Ce qui est faux, donc il faut vérifier l'étape 5 à nouveau. 7. **Reprenons la dernière étape avec attention :** $$E = 2 + \frac{1}{z} = 2 + \frac{1}{\frac{5 + \sqrt{5}}{4}} = 2 + \frac{4}{5 + \sqrt{5}}$$ Rationnalisons correctement : $$\frac{4}{5 + \sqrt{5}} = \frac{4(5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5})(5 - \sqrt{5})} = \frac{4(5 - \sqrt{5})}{25 - 5} = \frac{4(5 - \sqrt{5})}{20} = \frac{5 - \sqrt{5}}{5}$$ Donc : $$E = 2 + \frac{5 - \sqrt{5}}{5} = \frac{10}{5} + \frac{5 - \sqrt{5}}{5} = \frac{10 + 5 - \sqrt{5}}{5} = \frac{15 - \sqrt{5}}{5} = 3 - \frac{\sqrt{5}}{5}$$ Comparons cela avec $\sqrt{5}$. On souhaite montrer : $$3 - \frac{\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$$ Ajouter $\frac{\sqrt{5}}{5}$ des deux côtés : $$3 = \sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}\left(1 + \frac{1}{5}\right) = \sqrt{5} \times \frac{6}{5}$$ Donc : $$\sqrt{5} = \frac{3 \times 5}{6} = \frac{15}{6} = 2.5$$ Ceci est faux car $\sqrt{5} \approx 2.236$. 8. **Recalculons donc la valeur de $z$ parce que l'erreur vient probablement de là.** $$z = 1 + \frac{1}{y} = 1 + \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$$ Rationnalisons $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$ : $$\frac{1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{\sqrt{5} + 1}{5 - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$$ Donc : $$z = 1 + \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$$ Cette étape est correcte et confirme que $z = \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$. 9. **Calcuons maintenant $\frac{1}{z}$ :** $$\frac{1}{z} = \frac{4}{5 + \sqrt{5}}$$ On a bien : $$E = 2 + \frac{4}{5 + \sqrt{5}}$$ Rationnalisons : $$\frac{4}{5 + \sqrt{5}} = \frac{4(5 - \sqrt{5})}{(5)^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(5 - \sqrt{5})}{25 - 5} = \frac{4(5 - \sqrt{5})}{20} = \frac{5 - \sqrt{5}}{5} = 1 - \frac{\sqrt{5}}{5}$$ Donc : $$E = 2 + 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} = 3 - \frac{\sqrt{5}}{5}$$ 10. **Dernière vérification numérique :** $$3 - \frac{\sqrt{5}}{5} = 3 - \frac{2.236}{5} = 3 - 0.447 = 2.553$$ Ce n'est pas égal à $\sqrt{5} \approx 2.236$. 11. **Problème identifié :** La notation imbriquée doit être comprise correctement. Le numérateur est toujours 1 sauf dans l'addition initiale de 2. L'expression complète est : $$E = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \sqrt{5}}}}$$ On peut calculer de l'intérieur vers l'extérieur : Posons $$A = 2 + \sqrt{5}$$ $$B = 1 + \frac{1}{A} = 1 + \frac{1}{2 + \sqrt{5}}$$ Nous avons déterminé : $$\frac{1}{2 + \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2$$ Donc $$B = 1 + (\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5} - 1$$ Ensuite $$C = 1 + \frac{1}{B} = 1 + \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$$ Rationnalisons : $$\frac{1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$$ Donc $$C = 1 + \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$$ Enfin $$E = 2 + \frac{1}{C} = 2 + \frac{4}{5 + \sqrt{5}}$$ Rationnalisons : $$\frac{4}{5 + \sqrt{5}} = \frac{4(5 - \sqrt{5})}{(5)^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{20 - 4\sqrt{5}}{20} = 1 - \frac{\sqrt{5}}{5}$$ Donc $$E = 2 + 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} = 3 - \frac{\sqrt{5}}{5}$$ 12. **Conclusion :** Le calcul montre que l'expression vaut $3 - \frac{\sqrt{5}}{5}$, pas $\sqrt{5}$. Il y a probablement une erreur dans l'énoncé ou l'interprétation de la structure imbriquée. **Remarque finale :** Le problème demandé était de montrer que cette expression est égale à $\sqrt{5}$, ce qui ne semble pas correct avec le calcul. 13. **Or, en utilisant une autre approche, posons $E = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \sqrt{5}}}}$, alors** Soit $x = 2 + \sqrt{5}$, $y = 1 + \frac{1}{x}$, $z = 1 + \frac{1}{y}$, Alors $E = 2 + \frac{1}{z}$. Reprenons les calculs plus simplement : - $x = 2 + \sqrt{5}$ - $y = 1 + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2 + \sqrt{5}} = 1 + (\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5} - 1$ - $z = 1 + \frac{1}{y} = 1 + \frac{1}{\sqrt{5} - 1} = 1 + \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$ - $E = 2 + \frac{1}{z} = 2 + \frac{4}{5 + \sqrt{5}} = 2 + 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} = 3 - \frac{\sqrt{5}}{5}$ Donc $E = 3 - \frac{\sqrt{5}}{5}$, et ce n'est pas égal à $\sqrt{5}$. **Il semble donc y avoir une confusion dans l'énoncé ou dans son interprétation.**