1. مسئله را بیان می‌کنیم: اگر \(\frac{a}{5} = \frac{b}{7} = \frac{c}{11} = k\) باشد، مقدار \(\frac{abc}{(a+b+c)^3}\) را بیابید. 2. از فرض مسئله داریم: \[ a = 5k, \quad b = 7k, \quad c = 11k \] 3. ابتدا صورت کسر را محاسبه می‌کنیم: \[ abc = (5k)(7k)(11k) = 5 \times 7 \times 11 \times k^3 = 385k^3 \] 4. سپس مخرج کسر را محاسبه می‌کنیم: \[ a + b + c = 5k + 7k + 11k = 23k \] پس: \[ (a+b+c)^3 = (23k)^3 = 23^3 k^3 = 12167 k^3 \] 5. حال کسر را به صورت زیر می‌نویسیم: \[ \frac{abc}{(a+b+c)^3} = \frac{385 k^3}{12167 k^3} = \frac{385}{12167} \] 6. چون \(k^3\) در صورت و مخرج حذف می‌شود، مقدار نهایی برابر است با: \[ \boxed{\frac{385}{12167}} \] این مقدار ساده‌ترین شکل کسر است.