1. مسئله را بیان می‌کنیم: اگر \(\frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{4}\) باشد، مقدار \(\frac{x^2}{x^4+1}\) را بیابید. 2. ابتدا معادله داده شده را بررسی می‌کنیم: \[ \frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{4} \] 3. ضرب در طرفین در \(x^2+1\) داریم: \[ x = \frac{1}{4}(x^2+1) \] 4. معادله را بازنویسی می‌کنیم: \[ 4x = x^2 + 1 \] 5. همه جملات را به یک طرف می‌بریم: \[ x^2 - 4x + 1 = 0 \] 6. این معادله درجه دوم را حل می‌کنیم با فرمول کلی: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \] 7. حال مقدار \(\frac{x^2}{x^4+1}\) را محاسبه می‌کنیم. ابتدا صورت و مخرج را بررسی می‌کنیم: \[ \frac{x^2}{x^4 + 1} \] 8. توجه کنید که \(x^4 + 1 = (x^2)^2 + 1\). برای ساده‌سازی، از رابطه داده شده استفاده می‌کنیم. از معادله اولیه داریم: \[ \frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{x^2+1}{4} \] 9. از این رابطه می‌توانیم \(x^2+1 = 4x\) بنویسیم. 10. حال مخرج را بازنویسی می‌کنیم: \[ x^4 + 1 = (x^2)^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - 2x^2 = (4x)^2 - 2x^2 = 16x^2 - 2x^2 = 14x^2 \] 11. پس کسر به صورت زیر است: \[ \frac{x^2}{x^4 + 1} = \frac{x^2}{14x^2} = \frac{1}{14} \] 12. بنابراین مقدار عبارت برابر است با: \[ \boxed{\frac{1}{14}} \]