1. Énoncé du problème : On considère la fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{N}$ définie par $f(x) = 4E^2(x) - 4E(x) + 2$ où $E(x)$ est la partie entière de $x$. Il s'agit d'écrire $f$ sous forme canonique, calculer quelques valeurs, étudier l'injectivité, déterminer l'image $f(\mathbb{R})$, la surjectivité, l'inverse sur un certain ensemble, et montrer la bijection d'une restriction. 2. Forme canonique : On pose $y = E(x)$, alors $$f(x) = 4y^2 - 4y + 2 = 4\left(y^2 - y + \frac{1}{4}\right) + 2 - 4 \times \frac{1}{4} = 4\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + 1.$$ Ceci est la forme canonique de $f$. 3. Calcul des valeurs : - $f(0)$ : $E(0) = 0$, donc $f(0) = 4\times0^2 - 4\times0 + 2 = 2$. - $f(1)$ : $E(1) = 1$, donc $f(1) = 4\times1 - 4\times1 + 2 = 2$. - $f(\frac{1}{2})$ : $E(\frac{1}{2}) = 0$, donc $f(\frac{1}{2}) = 2$. - $f(-\frac{1}{2})$ : $E(-\frac{1}{2}) = -1$, donc $f(-\frac{1}{2}) = 4\times1 - 4\times(-1) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10$. 4. Injectivité : $f(x)$ dépend uniquement de $E(x)$, qui est entier. Comme $f(y) = 4(y - \frac{1}{2})^2 + 1$ est une fonction quadratique en $y$, elle n'est pas injective sur $\mathbb{Z}$ car $f(y) = f(1 - y)$ (symétrie autour de $y=\frac{1}{2}$). Par exemple, $f(0) = f(1) = 2$. Donc $f$ n'est pas injective. 5. Image $f(\mathbb{R})$ : Comme $y = E(x) \in \mathbb{Z}$, on a $$f(y) = 4\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + 1, \quad y \in \mathbb{Z}.$$ Les valeurs possibles sont donc les nombres de la forme $4k^2 + 1$ où $k = y - \frac{1}{2}$ est demi-entier. En fait, $k$ prend les valeurs $\ldots, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \ldots$ donc $$f(\mathbb{R}) = \{4\left(m + \frac{1}{2}\right)^2 + 1 : m \in \mathbb{Z}\} = \{4\left(m^2 + m + \frac{1}{4}\right) + 1 : m \in \mathbb{Z}\} = \{4m^2 + 4m + 2 : m \in \mathbb{Z}\}.$$ 6. Surjectivité : L'image $f(\mathbb{R})$ est un sous-ensemble strict de $\mathbb{N}$, donc $f$ n'est pas surjective sur $\mathbb{N}$. 7. Inverse sur $\mathbb{N}^* \setminus \{1,2\}$ : On cherche $x$ tel que $$f(x) = n, \quad n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1,2\}.$$ On a $$4\left(E(x) - \frac{1}{2}\right)^2 + 1 = n \Rightarrow \left(E(x) - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{n-1}{4}.$$ Donc $$E(x) = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{n-1}}{2}.$$ Comme $E(x)$ est entier, $\sqrt{n-1}$ doit être impair, et $$E(x) = \frac{1 \pm \sqrt{n-1}}{2} \in \mathbb{Z}.$$ L'ensemble inverse est donc $$f^{-1}(n) = \{x \in \mathbb{R} : E(x) = \frac{1 \pm \sqrt{n-1}}{2}\}.$$ 8. Bijection sur $A$ : Soit $A = \{y = k^2 + \frac{1}{k} \in \mathbb{N}^* : k \text{ impair}\}$. La restriction $g$ de $f$ à $\mathbb{N}^*$ à valeurs dans $A$ est bijective car pour $y \in \mathbb{N}^*$ impair, on peut associer un unique $k$ impair tel que $g(k) = f(k) = 4k^2 - 4k + 2$ correspond à $k^2 + \frac{1}{k}$. La réciproque $g^{-1}$ est donc donnée par $$g^{-1}(y) = k \text{ impair tel que } y = k^2 + \frac{1}{k}.$$ Réponse finale : $$f(x) = 4\left(E(x) - \frac{1}{2}\right)^2 + 1,$$ $f(0) = 2, f(1) = 2, f(\frac{1}{2}) = 2, f(-\frac{1}{2}) = 10,$ $f$ n'est pas injective, $f(\mathbb{R}) = \{4m^2 + 4m + 2 : m \in \mathbb{Z}\},$ $f$ n'est pas surjective, $f^{-1}(\mathbb{N}^* \setminus \{1,2\}) = \{x : E(x) = \frac{1 \pm \sqrt{n-1}}{2}\},$ $g$ est bijective de $\mathbb{N}^*$ vers $A$ avec $g^{-1}(y) = k$ impair tel que $y = k^2 + \frac{1}{k}$.