1. On considère $f(x) = \frac{x^{2} - 4x + 6}{x^{2} - 4x + 8}$. a. Le domaine de définition $D_f$ correspond aux $x$ tels que le dénominateur soit non nul : $$x^{2} - 4x + 8 \neq 0.$$ Calcule le discriminant : $$\Delta = (-4)^{2} - 4 \times 1 \times 8 = 16 - 32 = -16 < 0,$$ donc pas de racines réelles, donc $$D_f = \mathbb{R}.$$ 2. Montrons que $f$ est majorée par 1 sur $D_f$ : Considérons $$f(x) \leq 1 \iff \frac{x^{2} - 4x + 6}{x^{2} - 4x + 8} \leq 1.$$ Multiplions par le dénominateur (toujours positif car sans racines): $$x^{2} - 4x + 6 \leq x^{2} - 4x + 8 \Rightarrow 6 \leq 8,$$ ce qui est vrai. Donc $f(x) \leq 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 3.a. Calculons $f(2)$ : $$f(2) = \frac{2^{2} - 4 \times 2 + 6}{2^{2} - 4 \times 2 + 8} = \frac{4 - 8 + 6}{4 - 8 + 8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$ 3.b. Montrons que $f$ est minorée par $\frac{1}{2}$ sur $D_f$ : $$f(x) \geq \frac{1}{2} \iff \frac{x^{2} - 4x + 6}{x^{2} - 4x + 8} \geq \frac{1}{2}.$$ Multiplions par le dénominateur positif : $$2(x^{2} - 4x + 6) \geq x^{2} - 4x + 8 \iff 2x^{2} - 8x + 12 \geq x^{2} - 4x + 8,$$ soit $$x^{2} - 4x + 4 \geq 0.$$ Or, $$x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2} \geq 0,$$ donc toujours vrai. Conclusion : $$\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 1$$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. II. 1. Fonctions $u$ et $v$ : $$u(x) = x^{2} - 4x + 4 = (x-2)^2,$$ $$v(x) = \frac{x+2}{x+4}.$$ Domaines : $D_u = \mathbb{R}$ car un polynôme. $D_v = \mathbb{R} \setminus \{-4\}$ (dénominateur non nul). 2. Tableaux de variations : - $u(x)$ est une parabole avec un minimum en $x=2$, où $u(2) = 0$, décroissante sur $]-\infty,2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$. - Pour $v(x)$, dérivée : $$v'(x) = \frac{(1)(x+4) - (x+2)(1)}{(x+4)^2} = \frac{x + 4 - x - 2}{(x+4)^2} = \frac{2}{(x+4)^2} > 0,$$ donc $v$ strictement croissante sur $D_v$. 3. L'intersection des domaines : $$D_{vou} = D_v \cap D_u = \mathbb{R} \setminus \{-4\}.$$ 4.a. Montrons que $(\forall x \in D_{vou}) : f(x) = (v \circ u)(x)$ : $$v(u(x)) = v(x^{2} - 4x + 4) = \frac{(x^{2} - 4x + 4) + 2}{(x^{2} - 4x + 4) + 4} = \frac{x^{2} - 4x + 6}{x^{2} - 4x + 8} = f(x).$$ 4.b. Étudions les variations de $f$ sur $]-\infty, 2]$ et $[2, +\infty[$ : - Sur $D_{vou}$, $u(x)$ décroît sur $]-\infty, 2]$ (car $(x-2)^2$ décroissante vers 2) et croit sur $[2, +\infty[$. - $v$ est croissante sur $D_v$. - La composée $f = v \circ u$ est la composée d'une fonction décroissante puis croissante suivie d'une croissante. Donc sur $]-\infty, 2]$, $f$ décroît (car décroissante puis croissante compose avec croissante donne décroissante). Sur $[2, +\infty[$, $f$ croît. 4.c. Le tableau de variations de $f$ fait apparaître un minimum en $x=2$ avec $f(2) = \frac{1}{2}$. On peut dresser aussi celui de $-2f$ qui correspond à une fonction décroissante partout si $f$ est croissante. --- Pour la première partie : 1. La fonction $f$ n'est pas explicitement donnée, mais l'exercice demande : - Le tableau de variations de $f$. - Les images de certains intervalles pour $f$ et $g$. - La nature de $(C_g)$ (probablement la courbe de $g$) et ses caractéristiques. - Résolution graphique de différentes égalités et inégalités entre $f$ et $g$. Cependant, n'ayant pas la définition précise de $f$ et $g$ dans la première partie, nous ne pouvons pas calculer ces éléments. --- **Conclusion :** - $D_f = \mathbb{R}$. - $\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. - $f(2) = \frac{1}{2}$. - $f = v \circ u$ avec $u(x) = (x-2)^2$ et $v$ strictement croissante. - Variations de $f$: décroissante sur $]-\infty, 2]$, croissante sur $[2, +\infty[$, minimum en $2$.