1. Énoncé du problème : Déterminer la nature de la fonction $f(x)=\frac{9x-10}{2x-3}$ et ses éléments caractéristiques. 2. Domaine de définition : La fonction est définie pour tous les réels sauf là où le dénominateur est nul. $$2x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}$$ Donc, le domaine est : $$\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{3}{2}\right\}$$ 3. Asymptotes verticales : L'asymptote verticale correspond à la valeur interdite du domaine : $$x=\frac{3}{2}$$ 4. Asymptote horizontale : On calcule la limite de $f(x)$ quand $x \to \pm \infty$ : $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{9x-10}{2x-3} = \frac{9}{2}$$ Donc l'asymptote horizontale est : $$y=\frac{9}{2}$$ 5. Signe du dénominateur : Le dénominateur $2x-3$ change de signe en $x=\frac{3}{2}$. 6. Dérivée : $$f'(x) = \frac{(9)(2x-3) - (9x-10)(2)}{(2x-3)^2} = \frac{18x - 27 - 18x + 20}{(2x-3)^2} = \frac{-7}{(2x-3)^2}$$ Le dénominateur est toujours positif, donc $f'(x)$ est toujours négatif. 7. Conclusion sur la variation : La fonction est strictement décroissante sur chaque intervalle de son domaine. 8. Résumé des éléments caractéristiques : - Domaine : $\mathbb{R} \setminus \{\frac{3}{2}\}$ - Asymptote verticale : $x=\frac{3}{2}$ - Asymptote horizontale : $y=\frac{9}{2}$ - Fonction strictement décroissante sur $]-\infty, \frac{3}{2}[$ et $]\frac{3}{2}, +\infty[$