1. Énoncé du problème : Développer et simplifier la fonction $f(x) = (2x^2 + 1)(3x - 1)^2$, puis étudier les autres fonctions données. 2. Développons $(3x - 1)^2$ : $$ (3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1 $$ 3. Multiplions par $2x^2 + 1$ : $$ f(x) = (2x^2 + 1)(9x^2 - 6x + 1) = (2x^2)(9x^2 - 6x + 1) + 1(9x^2 - 6x + 1) $$ 4. Calculons chaque terme : $$ 2x^2 \times 9x^2 = 18x^4 $$ $$ 2x^2 \times (-6x) = -12x^3 $$ $$ 2x^2 \times 1 = 2x^2 $$ $$ 1 \times 9x^2 = 9x^2 $$ $$ 1 \times (-6x) = -6x $$ $$ 1 \times 1 = 1 $$ 5. Additionnons tous les termes : $$ f(x) = 18x^4 - 12x^3 + 2x^2 + 9x^2 - 6x + 1 = 18x^4 - 12x^3 + 11x^2 - 6x + 1 $$ 6. Résultat final pour la fonction polynomiale développée : $$ f(x) = 18x^4 - 12x^3 + 11x^2 - 6x + 1 $$ --- 7. Pour la fonction $f(x) = 2x \sqrt{x^2 + 1}$, nous pouvons noter que c'est une fonction composée. 8. Pour $f(x) = \frac{x}{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{9}\right)$, c'est une fonction produit entre un terme polynomial et une fonction trigonométrique. 9. Le problème demandé traite la fonction $f(x) = (2x^2 + 1)(3x - 1)^2$ principalement.