1. Énoncé du problème : On considère la fonction $f(x) = \frac{a x + 2}{2 x + 1}$ avec $a \in \mathbb{R}$. Il faut étudier la position relative des courbes $(C)$ et $(D)$, démontrer que le point $A(2;0)$ est un centre de symétrie de $(C)$, construire $(C)$ et $(D)$, déterminer $a$ pour que la tangente à $(C)$ en $x=0$ soit parallèle à la droite $y = -5x + 2$, puis donner le tableau de variation de $f$ définie par $f(x) = \frac{2 x^2 + a x + b}{x - 1}$, $a,b \in \mathbb{R}$. 2. Étude de la position relative de $(C)$ et $(D)$ : - Sans la description explicite de $(D)$, on suppose $(D)$ est une autre courbe donnée ou à construire. - En général, on compare leurs expressions analytiques et points d'intersection. - On cherche à résoudre $f(x) = g(x)$ où $g$ est la fonction de $(D)$ pour déterminer les points d'intersection. 3. Le point $A(2;0)$ est centre de symétrie de $(C)$: - La symétrie centrale en $A$ signifie que pour tout point $M(x,y)$ sur $(C)$, le point $M'$ image de $M$ par la symétrie centrée en $A$ est aussi sur $(C)$. - La symétrie se calcule par $M'(x',y')$ avec $x' = 2\times2 - x = 4 - x$ et $y' = 2\times 0 - y = -y$. - On montre que $f(x') = y' \iff f(4 - x) = -f(x)$ ; c'est à vérifier en remplaçant $f$ et $a$. 4. Construction de $(C)$ et $(D)$: - $(C)$ est la courbe de la fonction $f(x) = \frac{a x + 2}{2 x + 1}$. - $(D)$ à préciser selon problème, probablement liée à $f(x) = \frac{2 x^2 + a x + b}{x - 1}$. 5. Déterminer $a$ pour que la tangente à $(C)$ en $x=0$ soit parallèle à $y = -5 x + 2$: - La pente de la droite est $-5$. - La dérivée de $f$ est $f'(x) = \frac{(a)(2 x + 1) - (a x + 2)(2)}{(2 x + 1)^2}$. - En $x=0$, $f'(0) = \frac{a \times 1 - 2 \times 2}{1^2} = a - 4$. - Posons $f'(0) = -5 \Rightarrow a -4 = -5 \Rightarrow a = -1$. 6. Tableau de variation de $f(x) = \frac{2 x^2 + a x + b}{x - 1}$: - La fonction est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. - Trouvons $f'(x)$ : $$ f'(x) = \frac{(4 x + a)(x -1) - (2 x^2 + a x + b) \times 1}{(x - 1)^2} = \frac{4x^2 -4x + a x - a - 2 x^2 - a x - b}{(x - 1)^2} = \frac{2 x^2 -4x - a - b}{(x - 1)^2}.$$ - Étudions le signe de $N(x) = 2 x^2 -4x - a - b$. - Résolvons $2 x^2 -4 x - a - b = 0$ pour les racines critiques. - Ces racines déterminent les intervalles de croissance/décroissance. - Tableau de variation dépendant des valeurs de $a, b$. Réponses précises nécessitent valeurs de $a$ et $b$ données ou supplémentaires.