1. **Énoncé du problème :** Tracer la représentation graphique de la fonction $f(x) = \frac{1}{2}x + 3$ dans un repère orthonormé. Calculer l'aire de la surface délimitée par la courbe de $f(x)$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$. 2. **Formule utilisée :** L'aire sous la courbe entre $x=a$ et $x=b$ est donnée par l'intégrale définie : $$\text{Aire} = \int_a^b f(x) \, dx$$ 3. **Représentation graphique :** La fonction est une droite d'équation $y = \frac{1}{2}x + 3$. - Pour $x=0$, $f(0) = 3$. - Pour $x=2$, $f(2) = \frac{1}{2} \times 2 + 3 = 1 + 3 = 4$. 4. **Calcul de l'aire :** On calcule $$\int_1^2 \left( \frac{1}{2}x + 3 \right) dx = \int_1^2 \frac{1}{2}x \, dx + \int_1^2 3 \, dx$$ Calculons chaque intégrale : - $$\int_1^2 \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2} \int_1^2 x \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$$ - $$\int_1^2 3 \, dx = 3[x]_1^2 = 3(2 - 1) = 3$$ 5. **Addition des résultats :** $$\text{Aire} = \frac{3}{4} + 3 = \frac{3}{4} + \frac{12}{4} = \frac{15}{4} = 3.75$$ 6. **Interprétation :** L'aire sous la courbe $f(x)$ entre $x=1$ et $x=2$, au-dessus de l'axe des abscisses, est égale à 3.75 unités carrées. **Réponse finale :** L'aire demandée est $\boxed{3.75}$.