1. **Énoncé du problème :** Tracer la représentation graphique de la fonction $f(x) = \frac{1}{2}x + 3$ dans un repère orthonormé. 2. **Formule et règles importantes :** La fonction est une droite affine de la forme $f(x) = mx + b$ où $m = \frac{1}{2}$ est la pente et $b = 3$ est l'ordonnée à l'origine. 3. **Calcul des points clés pour tracer la droite :** - Pour $x=0$, $f(0) = \frac{1}{2} \times 0 + 3 = 3$. - Pour $x=2$, $f(2) = \frac{1}{2} \times 2 + 3 = 1 + 3 = 4$. 4. **Tracer la droite :** On place les points $(0,3)$ et $(2,4)$ dans le repère orthonormé et on trace la droite qui les relie. 5. **Calcul de l'aire délimitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=2$ :** L'aire cherchée est l'intégrale définie de $f(x)$ entre 1 et 2, mais limitée par l'axe des abscisses (c'est-à-dire la surface entre la courbe et $y=0$). 6. **Calcul de l'intégrale :** $$\text{Aire} = \int_1^2 \left( \frac{1}{2}x + 3 \right) dx$$ 7. **Calcul détaillé :** $$\int_1^2 \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2} \times \frac{x^2}{2} \Big|_1^2 = \frac{1}{4} (2^2 - 1^2) = \frac{1}{4} (4 - 1) = \frac{3}{4}$$ $$\int_1^2 3 \, dx = 3x \Big|_1^2 = 3(2 - 1) = 3$$ Donc, $$\text{Aire} = \frac{3}{4} + 3 = \frac{3}{4} + \frac{12}{4} = \frac{15}{4} = 3.75$$ 8. **Interprétation :** L'aire de la surface délimitée par la courbe $f(x)$, l'axe des abscisses, et les droites $x=1$ et $x=2$ est égale à $3.75$ unités carrées. **Réponse finale :** L'aire est $3.75$.