1. **بيان المسألة:** لدينا دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة بالشكل $f(x) = ax^3 + 6x^2 + bx + 4$، ونريد إيجاد القيم $a$ و $b$ بحيث يمر المنحنى $(C)$ بالنقطة $A(1,0)$ ويقبل مماسًا عند النقطة ذات القاصة $2$ بمعادلة المماس $y = 3x - 4$. 2. **المعطيات والقوانين:** - الدالة: $f(x) = ax^3 + 6x^2 + bx + 4$ - المماس عند $x=2$ له معادلة $y = 3x - 4$ - النقطة $A(1,0)$ تقع على المنحنى، إذن $f(1) = 0$ 3. **إيجاد $a$ و $b$ باستخدام المعطيات:** - من شرط مرور المنحنى بالنقطة $A(1,0)$: $$f(1) = a(1)^3 + 6(1)^2 + b(1) + 4 = a + 6 + b + 4 = a + b + 10 = 0$$ إذن: $$a + b = -10 \quad (1)$$ - من شرط أن المماس عند $x=2$ له ميل $3$ (لأن معادلة المماس $y=3x-4$ الميل هو 3): نحتاج إلى المشتقة: $$f'(x) = 3ax^2 + 12x + b$$ إذن: $$f'(2) = 3a(2)^2 + 12(2) + b = 3a(4) + 24 + b = 12a + b + 24 = 3$$ إذن: $$12a + b = 3 - 24 = -21 \quad (2)$$ - من شرط أن المماس يمر بالنقطة $(2, f(2))$ ويطابق معادلة المماس، نعوض $x=2$ في $f(x)$ ونعادلها مع $y=3(2)-4=6-4=2$: $$f(2) = a(2)^3 + 6(2)^2 + b(2) + 4 = 8a + 24 + 2b + 4 = 8a + 2b + 28 = 2$$ إذن: $$8a + 2b = 2 - 28 = -26 \quad (3)$$ 4. **حل النظام:** من (1): $b = -10 - a$ نعوض في (2): $$12a + (-10 - a) = -21 \Rightarrow 12a - 10 - a = -21 \Rightarrow 11a - 10 = -21 \Rightarrow 11a = -11 \Rightarrow a = -1$$ نعوض $a=-1$ في (1): $$-1 + b = -10 \Rightarrow b = -9$$ نتحقق من (3): $$8(-1) + 2(-9) = -8 - 18 = -26$$ صحيح. 5. **النتيجة:** $$a = -1, \quad b = -9$$ 6. **الدالة النهائية:** $$f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 4$$