1. مسئله: استفاده از روش فیبونیوس و معادله مفسر برای حل یک مسئله ریاضی. 2. روش فیبونیوس: دنباله فیبونیوس به صورت زیر تعریف می‌شود: $$F_0=0, F_1=1, \quad \text{و} \quad F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \quad \text{برای} \quad n\geq 2$$ این دنباله هر عدد را به صورت جمع دو عدد قبلی خود تعریف می‌کند. 3. معادله مفسر (معادله بازگشتی): معادله‌ای است که مقدار یک جمله را بر اساس جملات قبلی تعریف می‌کند. در دنباله فیبونیوس، معادله مفسر به شکل: $$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$ است. 4. برای حل این معادله، می‌توان از روش‌های مختلفی مانند روش حل معادلات بازگشتی خطی استفاده کرد. ابتدا فرض می‌کنیم: $$F_n=r^n$$ و معادله مفسر را جایگزین می‌کنیم: $$r^n=r^{n-1}+r^{n-2}$$ که به معادله مشخصه زیر می‌رسیم: $$r^2=r+1$$ یا $$r^2 - r - 1=0$$ 5. حل معادله درجه دوم: $$r=\frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ دو ریشه داریم: $$r_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \quad r_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$ 6. جواب کلی معادله مفسر به صورت ترکیب خطی ریشه‌ها است: $$F_n=A r_1^n + B r_2^n$$ که ضرایب $A$ و $B$ با استفاده از شرایط اولیه تعیین می‌شوند: $$F_0=0=A+B$$ $$F_1=1=A r_1 + B r_2$$ 7. حل دستگاه معادلات: از $A+B=0$ داریم $B=-A$ جایگذاری در معادله دوم: $$1=A r_1 - A r_2 = A(r_1 - r_2)$$ پس: $$A=\frac{1}{r_1 - r_2}$$ و $$B=-\frac{1}{r_1 - r_2}$$ 8. نتیجه نهایی: $$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)$$ این فرمول به نام فرمول بینه شناخته می‌شود و مقدار جمله $n$ام دنباله فیبونیوس را به صورت مستقیم محاسبه می‌کند.