1. **Énoncé du problème :** Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $-2 < x < 0$, on pose $A = x^2 + x - 2$ et $B = \frac{x}{x-1}$. 2. **Vérification des expressions de $A$ :** (a) Montrons que $A = (x-1)(x+2)$. Calculons le produit : $$ (x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2 $$ Ce qui est bien égal à $A$. (b) Montrons que $A = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}$. Développons : $$ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} = x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = x^2 + x - 2 $$ Ce qui est bien égal à $A$. 3. **Encadrement de $A$ de trois façons différentes :** - Première forme factorisée : $A = (x-1)(x+2)$. Puisque $-2 < x < 0$, on a : - $x-1 < 0 - 1 = -1 < 0$ - $x+2 > -2 + 2 = 0$ Donc $(x-1)(x+2) < 0$ car produit d'un négatif par un positif. - Deuxième forme : $A = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}$. Le terme $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2$ est toujours positif ou nul. Comme $-2 < x < 0$, $x + \frac{1}{2}$ varie entre $-1.5$ et $0.5$, donc $$0 \leq \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 < 2.25$$ Ainsi, $$-\frac{9}{4} < A < 0$$ - Troisième encadrement par valeurs numériques : Pour $x$ proche de $-2$, $A$ tend vers $0$ par la droite. Pour $x$ proche de $0$, $A$ tend vers $-2$. **Conclusion :** $$-2 < A < 0$$ 4. **Vérification et encadrement de $B$ :** Vérifions que $$ B = \frac{x}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1} $$ Calcul : $$ 1 + \frac{1}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x-1+1}{x-1} = \frac{x}{x-1} = B $$ Encadrement de $B$ : Puisque $-2 < x < 0$, alors $x-1$ varie entre $-3$ et $-1$. - Comme $x-1 < 0$, $\frac{1}{x-1}$ est négatif et décroissant sur cet intervalle. Donc, $$-1 < x-1 < -3 \implies -\frac{1}{3} < \frac{1}{x-1} < -1$$ - En ajoutant 1, $$1 - \frac{1}{3} < B < 1 - 1$$ $$\frac{2}{3} < B < 0$$ **Conclusion :** $$0 < B < \frac{2}{3}$$ **Résumé final :** - $A$ est négatif et compris entre $-2$ et $0$. - $B$ est positif et compris entre $0$ et $\frac{2}{3}$.