1. El problema es simplificar o factorizar la expresión algebraica: $$16x^4 + 8x^2y^2 + 9y^4$$. 2. Observamos que cada término es un monomio con potencias de $x$ y $y$. La expresión tiene la forma de un trinomio cuadrado perfecto, que se puede reconocer como $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. 3. Identificamos $a$ y $b$: - $a^2 = 16x^4 = (4x^2)^2$ - $b^2 = 9y^4 = (3y^2)^2$ - El término del medio es $8x^2y^2$, que debe ser igual a $2ab = 2 \times 4x^2 \times 3y^2 = 24x^2y^2$, pero no coincide. 4. Como el término del medio no coincide con el doble producto, no es un trinomio cuadrado perfecto. 5. Intentamos factorizar por agrupación o buscar otro método. La expresión es un trinomio cuadrático en términos de $x^2$ y $y^2$: $$16(x^2)^2 + 8x^2y^2 + 9(y^2)^2$$ 6. Probamos factorizar como producto de binomios: $$(ax^2 + by^2)(cx^2 + dy^2) = acx^4 + (ad + bc)x^2y^2 + bdy^4$$ 7. Igualamos coeficientes: - $ac = 16$ - $ad + bc = 8$ - $bd = 9$ 8. Buscamos factores de 16 y 9: - Para 16: 1,16; 2,8; 4,4 - Para 9: 1,9; 3,3 9. Probamos con $a=4$, $c=4$, $b=3$, $d=3$: - $ac = 4 \times 4 = 16$ - $bd = 3 \times 3 = 9$ - $ad + bc = 4 \times 3 + 3 \times 4 = 12 + 12 = 24 \neq 8$ 10. Probamos con $a=8$, $c=2$, $b=9$, $d=1$: - $ac = 8 \times 2 = 16$ - $bd = 9 \times 1 = 9$ - $ad + bc = 8 \times 1 + 9 \times 2 = 8 + 18 = 26 \neq 8$ 11. Probamos con $a=2$, $c=8$, $b=9$, $d=1$: - $ac = 2 \times 8 = 16$ - $bd = 9 \times 1 = 9$ - $ad + bc = 2 \times 1 + 9 \times 8 = 2 + 72 = 74 \neq 8$ 12. Probamos con $a=1$, $c=16$, $b=9$, $d=1$: - $ac = 1 \times 16 = 16$ - $bd = 9 \times 1 = 9$ - $ad + bc = 1 \times 1 + 9 \times 16 = 1 + 144 = 145 \neq 8$ 13. Probamos con $a=16$, $c=1$, $b=3$, $d=3$: - $ac = 16 \times 1 = 16$ - $bd = 3 \times 3 = 9$ - $ad + bc = 16 \times 3 + 3 \times 1 = 48 + 3 = 51 \neq 8$ 14. No se encuentra una factorización simple con coeficientes enteros. 15. Por lo tanto, la expresión no se puede factorizar fácilmente con números enteros y se deja como está: $$16x^4 + 8x^2y^2 + 9y^4$$