1. Problème : Expliquons la transition entre $$\frac{10(4 - 3x - x^3)^4 (x^2 + 2x - 1)^4 (x + 1) + 12(x^2 + 2x - 1)^5 (4 - 3x - x^3)^3 (x^2 + 1)}{(4 - 3x - x^3)^8}$$ et $$\frac{2(4 - 3x - x^3)^3 (x^2 + 2x - 1)^4 \big[ 5(4 - 3x - x^3) (x + 1) + 6(x^2 + 2x - 1)(x^2 + 1) \big]}{(4 - 3x - x^3)^8}$$. 2. Le dénominateur est le même dans les deux expressions : $$(4 - 3x - x^3)^8$$. 3. Observons le numérateur initial : $$10(4 - 3x - x^3)^4 (x^2 + 2x - 1)^4 (x + 1) + 12(x^2 + 2x - 1)^5 (4 - 3x - x^3)^3 (x^2 + 1)$$ 4. Cherchons un facteur commun dans le numérateur. Regardons chaque terme : - Premier terme contient $(4 - 3x - x^3)^4 (x^2 + 2x - 1)^4$ - Second terme contient $(4 - 3x - x^3)^3 (x^2 + 2x - 1)^5$ Le minimum commun est $(4 - 3x - x^3)^3 (x^2 + 2x - 1)^4$. 5. Factorisons ce terme commun par regroupement : $$= (4 - 3x - x^3)^3 (x^2 + 2x - 1)^4 \times \big[ 10(4 - 3x - x^3)(x + 1) + 12(x^2 + 2x - 1)(x^2 + 1) \big]$$ 6. Ensuite, on peut mettre un facteur 2 en commun dans le crochet : $$= 2(4 - 3x - x^3)^3 (x^2 + 2x - 1)^4 \times \big[ 5(4 - 3x - x^3)(x + 1) + 6(x^2 + 2x - 1)(x^2 + 1) \big]$$ 7. Ainsi, la fraction devient : $$\frac{2(4 - 3x - x^3)^3 (x^2 + 2x - 1)^4 \big[ 5(4 - 3x - x^3)(x + 1) + 6(x^2 + 2x - 1)(x^2 + 1) \big]}{(4 - 3x - x^3)^8}$$ Ce qui correspond exactement à la deuxième ligne donnée. Résumé : La transition consiste en une factorisation du numérateur en extrayant un facteur commun $(4 - 3x - x^3)^3 (x^2 + 2x - 1)^4$ et en mettant en facteur 2 dans la parenthèse, ce qui simplifie la somme initiale en un produit factorisé.