1. **Énoncé du problème :** Factoriser les expressions suivantes : $$A = n^{12} - 2n^6 + 1$$ $$B = 16n^2 - 8n + 1$$ $$C = n^5 + n^3 - n^2 - 1$$ 2. **Formule et règles importantes :** - Pour factoriser une expression, on cherche à écrire le polynôme comme un produit de polynômes de degré inférieur. - On peut utiliser des identités remarquables comme $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. - On peut aussi chercher des racines ou utiliser la mise en facteur par regroupement. 3. **Factorisation de $A$ :** - Remarquons que $A = (n^{6})^2 - 2n^6 + 1$. - Cela correspond à une forme de carré parfait : $$A = (n^6)^2 - 2 \times n^6 \times 1 + 1^2 = (n^6 - 1)^2$$ 4. **Factorisation de $B$ :** - $B = 16n^2 - 8n + 1$. - C'est un trinôme du second degré en $n$. - Calculons le discriminant : $$\Delta = (-8)^2 - 4 \times 16 \times 1 = 64 - 64 = 0$$ - Le discriminant est nul, donc racine double : $$n_0 = \frac{8}{2 \times 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$$ - Donc : $$B = (4n - 1)^2$$ 5. **Factorisation de $C$ :** - $C = n^5 + n^3 - n^2 - 1$ - Regroupons : $$C = (n^5 + n^3) - (n^2 + 1)$$ - Factorisons chaque groupe : $$= n^3(n^2 + 1) - 1(n^2 + 1)$$ - Mise en facteur commune : $$(n^3 - 1)(n^2 + 1)$$ - $n^3 - 1$ est une différence de cubes : $$n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)$$ - Donc : $$C = (n - 1)(n^2 + n + 1)(n^2 + 1)$$ **Réponse finale :** $$A = (n^6 - 1)^2$$ $$B = (4n - 1)^2$$ $$C = (n - 1)(n^2 + n + 1)(n^2 + 1)$$