1. **Énoncé:** Factorisez les expressions A, B, C et D. 2. **Expression A:** $$A = 4x^2 - 5 + x(3 - 2x)$$ Développons le terme $x(3 - 2x)$: $$x(3 - 2x) = 3x - 2x^2$$ Ainsi, $$A = 4x^2 - 5 + 3x - 2x^2 = (4x^2 - 2x^2) + 3x - 5 = 2x^2 + 3x - 5$$ Cette expression est un trinôme quadratique. Cherchons deux nombres dont le produit est $2 \times (-5) = -10$ et la somme est $3$. Ces nombres sont $5$ et $-2$. Factorisons: $$2x^2 + 3x - 5 = 2x^2 + 5x - 2x - 5 = x(2x + 5) -1(2x + 5) = (x - 1)(2x + 5)$$ 3. **Expression B:** $$B = x^3 - 8 + 4(n^2 - 4) - 3(x - 2)$$ Développons chaque terme: $$4(n^2 - 4) = 4n^2 - 16$$ $$-3(x - 2) = -3x + 6$$ Regroupons: $$B = x^3 - 8 + 4n^2 - 16 - 3x + 6 = x^3 - 8 + 4n^2 - 3x - 10$$ Remarquons $x^3 - 8$ est une différence de cubes: $$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$$ Donc: $$B = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) + 4n^2 - 3x - 10$$ Il n'y a pas de facteur commun évident supplémentaire, donc c'est la forme factorisée partielle. 4. **Expression C:** $$C = 8x^2 + 1 - 2(1 - 4x^2)^2$$ Développons $(1 - 4x^2)^2$: $$(1 - 4x^2)^2 = 1 - 2 \times 4x^2 + (4x^2)^2 = 1 - 8x^2 + 16x^4$$ Donc: $$C = 8x^2 + 1 - 2(1 - 8x^2 + 16x^4) = 8x^2 + 1 - 2 + 16x^2 - 32x^4 = (8x^2 + 16x^2) + (1 - 2) - 32x^4 = 24x^2 - 1 - 32x^4$$ Réécrivons pour mettre par ordre décroissant de puissance: $$C = -32x^4 + 24x^2 - 1$$ Factorisons par $-1$: $$C = -(32x^4 - 24x^2 + 1)$$ Posons $y = x^2$, alors: $$32y^2 - 24y + 1$$ C'est un trinôme quadratique en $y$ avec: $$\Delta = (-24)^2 - 4 \times 32 \times 1 = 576 - 128 = 448$$ Les racines sont: $$y = \frac{24 \pm \sqrt{448}}{64} = \frac{24 \pm 8\sqrt{7}}{64} = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{8}$$ Factorisation: $$32y^2 - 24y + 1 = 32(y - \frac{3 + \sqrt{7}}{8})(y - \frac{3 - \sqrt{7}}{8})$$ Donc: $$C = -32(x^2 - \frac{3 + \sqrt{7}}{8})(x^2 - \frac{3 - \sqrt{7}}{8})$$ 5. **Expression D:** $$D = \frac{x^5 + x^2}{x^3 - 1} \div (x^2 - 1)$$ Le symbole division signifie: $$D = \frac{x^5 + x^2}{x^3 - 1} \times \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{x^5 + x^2}{(x^3 - 1)(x^2 - 1)}$$ Factorisons: $$x^5 + x^2 = x^2(x^3 + 1)$$ $$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$$ $$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$ $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ Donc: $$D = \frac{x^2 (x + 1)(x^2 - x +1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 (x + 1)(x^2 - x +1)}{(x - 1)^2 (x^2 + x + 1)(x + 1)}$$ Simplifions $(x + 1)$ au numérateur et dénominateur: $$D = \frac{x^2 (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2 (x^2 + x + 1)}$$ **Réponses finales:** $$A = (x - 1)(2x + 5)$$ $$B = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) + 4n^2 - 3x -10$$ $$C = -32\left(x^2 - \frac{3 + \sqrt{7}}{8}\right)\left(x^2 - \frac{3 - \sqrt{7}}{8}\right)$$ $$D = \frac{x^2 (x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2 (x^2 + x + 1)}$$