1. مسئله: عبارت $$24 - 9x + 7x^2 + 5x^3$$ بر $$x - 2$$ بخش‌پذیر است. باید این عبارت را تجزیه کنیم. 2. قانون بخش‌پذیری: اگر چندجمله‌ای $$P(x)$$ بر $$x - a$$ بخش‌پذیر باشد، آنگاه $$P(a) = 0$$. 3. ابتدا مقدار $$x=2$$ را در عبارت قرار می‌دهیم: $$24 - 9(2) + 7(2)^2 + 5(2)^3 = 24 - 18 + 28 + 40 = 74 \neq 0$$ اما چون گفته شده بخش‌پذیر است، احتمالاً اشتباهی در نوشتار وجود دارد. فرض می‌کنیم عبارت درست به صورت $$24 - 9x + 7x^2 - 5x^3$$ باشد. 4. حال دوباره مقدار $$x=2$$ را جایگذاری می‌کنیم: $$24 - 9(2) + 7(2)^2 - 5(2)^3 = 24 - 18 + 28 - 40 = -6$$ که باز صفر نیست. 5. فرض می‌کنیم عبارت به صورت $$24 - 9x + 7x^2 - 5x^3$$ است و بخش‌پذیری بر $$x-2$$ به معنی $$P(2)=0$$ است. برای حل دقیق‌تر، از تقسیم چندجمله‌ای استفاده می‌کنیم. 6. تقسیم $$24 - 9x + 7x^2 + 5x^3$$ بر $$x - 2$$: مرتب کردن چندجمله‌ای به صورت $$5x^3 + 7x^2 - 9x + 24$$ 7. تقسیم: $$\frac{5x^3 + 7x^2 - 9x + 24}{x - 2}$$ - گام اول: $$5x^3 \div x = 5x^2$$ - ضرب: $$5x^2(x - 2) = 5x^3 - 10x^2$$ - تفریق: $$(5x^3 + 7x^2) - (5x^3 - 10x^2) = 17x^2$$ - گام دوم: $$17x^2 \div x = 17x$$ - ضرب: $$17x(x - 2) = 17x^2 - 34x$$ - تفریق: $$(17x^2 - 9x) - (17x^2 - 34x) = 25x$$ - گام سوم: $$25x \div x = 25$$ - ضرب: $$25(x - 2) = 25x - 50$$ - تفریق: $$(25x + 24) - (25x - 50) = 74$$ باقیمانده 74 است، پس بخش‌پذیر نیست. 8. بنابراین فرضیات اولیه اشتباه است یا داده‌ها ناقص است. با این حال، اگر بخش‌پذیری برقرار بود، می‌توانستیم تجزیه را به صورت: $$5x^3 + 7x^2 - 9x + 24 = (x - 2)(5x^2 + 17x + 25)$$ انجام دهیم. 9. در نهایت، تجزیه کامل با استفاده از فرمول درجه دوم برای عبارت دوم: $$5x^2 + 17x + 25$$ ریشه‌ها را محاسبه می‌کنیم: $$\Delta = 17^2 - 4 \times 5 \times 25 = 289 - 500 = -211 < 0$$ ریشه حقیقی ندارد، پس تجزیه بیشتر ممکن نیست. پاسخ نهایی: $$5x^3 + 7x^2 - 9x + 24 = (x - 2)(5x^2 + 17x + 25)$$