1. Сформулюємо задачу: знайти точки екстремуму функції $$y = x^4 - 2x^2 + 1$$. 2. Для знаходження точок екстремуму потрібно знайти похідну функції та прирівняти її до нуля, оскільки екстремуми виникають там, де похідна дорівнює нулю або не існує. 3. Обчислимо похідну: $$y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 1) = 4x^3 - 4x$$ 4. Прирівнюємо похідну до нуля: $$4x^3 - 4x = 0$$ 5. Винесемо спільний множник: $$4x(x^2 - 1) = 0$$ 6. Розв'яжемо рівняння: $$4x = 0 \Rightarrow x = 0$$ $$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$$ 7. Знайдемо другі похідні для визначення характеру точок: $$y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4$$ 8. Обчислимо $y''$ у знайдених точках: - Для $x=0$: $$y''(0) = 12\cdot0^2 - 4 = -4 < 0$$, отже максимум. - Для $x=1$: $$y''(1) = 12\cdot1^2 - 4 = 8 > 0$$, отже мінімум. - Для $x=-1$: $$y''(-1) = 12\cdot1 - 4 = 8 > 0$$, отже мінімум. 9. Знайдемо значення функції у цих точках: - $y(0) = 0^4 - 2\cdot0^2 + 1 = 1$ - $y(1) = 1 - 2 + 1 = 0$ - $y(-1) = 1 - 2 + 1 = 0$ Відповідь: точки екстремуму функції: - Максимум у точці $(0, 1)$ - Мінімум у точках $(1, 0)$ та $(-1, 0)$