1. Énonçons le problème : Calculer les expressions $x = (n+1)^2 + n^2 - 1$ et $y = 4n + 3$ pour $n \in \mathbb{N}$.\n\n2. Développons et simplifions $x$ :\n$$x = (n+1)^2 + n^2 - 1 = (n^2 + 2n + 1) + n^2 - 1$$\nSimplification :\n$$x = n^2 + 2n + 1 + n^2 - 1 = 2n^2 + 2n$$\nOn peut factoriser par $2n$ :\n$$x = 2n(n + 1)$$\n\n3. L'expression de $y$ est déjà simple :\n$$y = 4n + 3$$\n\n4. Résumé :\n- $x = 2n(n + 1)$\n- $y = 4n + 3$\n\nCes formules permettent de calculer $x$ et $y$ pour n'importe quel entier naturel $n$.