1. সমস্যাটি হলো: $a=3^{\frac{1}{3}}+3^{-\frac{1}{3}}$ হলে, $\frac{a^6-1}{a^3}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে। 2. প্রথমে $a$ এর মানকে সহজভাবে প্রকাশ করি। এখানে $a = x + \frac{1}{x}$ যেখানে $x = 3^{\frac{1}{3}}$। 3. আমরা জানি, $(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$। 4. তাই, $a^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3a$। 5. যেহেতু $x = 3^{\frac{1}{3}}$, তাই $x^3 = 3$ এবং $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{3}$। 6. তাই, $a^3 = 3 + \frac{1}{3} + 3a = \frac{10}{3} + 3a$। 7. এখন, $a^6 = (a^3)^2 = \left(\frac{10}{3} + 3a\right)^2 = \left(\frac{10}{3}\right)^2 + 2 \times \frac{10}{3} \times 3a + (3a)^2 = \frac{100}{9} + 20a + 9a^2$। 8. আমরা $a^2$ এর মান বের করতে পারি: $a^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$। 9. এখানে, $x^2 = 3^{\frac{2}{3}}$ এবং $\frac{1}{x^2} = 3^{-\frac{2}{3}}$। তবে, এই মানগুলো সরাসরি ব্যবহার না করে, আমরা $a^3$ এর সমীকরণ থেকে $a^2$ বের করার চেষ্টা করব। 10. $a^3 = a \times a^2 = \frac{10}{3} + 3a$ থেকে, $a^3 - 3a = \frac{10}{3}$। 11. অর্থাৎ, $a(a^2 - 3) = \frac{10}{3}$, তাই $a^2 - 3 = \frac{10}{3a}$ এবং $a^2 = 3 + \frac{10}{3a}$। 12. এখন, $a^6 = \frac{100}{9} + 20a + 9a^2 = \frac{100}{9} + 20a + 9\left(3 + \frac{10}{3a}\right) = \frac{100}{9} + 20a + 27 + \frac{90}{3a} = \frac{100}{9} + 20a + 27 + \frac{30}{a}$। 13. $\frac{a^6 - 1}{a^3} = \frac{a^6}{a^3} - \frac{1}{a^3} = a^3 - \frac{1}{a^3}$। 14. আমরা $a^3 = \frac{10}{3} + 3a$ এবং $\frac{1}{a^3} = \frac{1}{(x + \frac{1}{x})^3}$, কিন্তু সরাসরি $\frac{1}{a^3}$ বের করা কঠিন। 15. তবে, $a^3 - \frac{1}{a^3} = (a - \frac{1}{a})(a^2 + 1 + \frac{1}{a^2})$। 16. যেহেতু $a = x + \frac{1}{x}$, তাই $a - \frac{1}{a} = (x + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x + \frac{1}{x}}$। এটি জটিল, তাই আমরা সহজ উপায়ে সমাধান করব। 17. আসলে, $\frac{a^6 - 1}{a^3} = a^3 - \frac{1}{a^3}$, এবং $a^3 = \frac{10}{3} + 3a$ থেকে, $a^3 - \frac{1}{a^3} = \left(\frac{10}{3} + 3a\right) - \frac{1}{\frac{10}{3} + 3a}$। 18. যেহেতু $a$ এর মান জটিল, তবে প্রশ্নের উদ্দেশ্য হলো $\frac{a^6 - 1}{a^3}$ এর মান, যা $a^3 - \frac{1}{a^3}$ এর সমান। 19. অতএব, $\boxed{\frac{a^6 - 1}{a^3} = a^3 - \frac{1}{a^3}}$ এবং $a^3 = \frac{10}{3} + 3a$। 20. যদি $a$ এর মান প্রয়োজন হয়, তাহলে $a = 3^{\frac{1}{3}} + 3^{-\frac{1}{3}}$ ব্যবহার করে সংখ্যাগত মান নির্ণয় করতে হবে।