1. Simplifica el siguiente cociente de potencias y expresiones: $$\frac{(8x^{3} y^{-2})^{\frac{2}{3}}}{(2x^{-1} y)^{2}}$$ Paso 1: Aplica la potencia a cada término dentro del paréntesis en el numerador: $$ (8x^{3} y^{-2})^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} (x^{3})^{\frac{2}{3}} (y^{-2})^{\frac{2}{3}} $$ Paso 2: Calcula cada potencia: $$ 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \times \frac{2}{3}} = 2^{2} = 4 $$ $$ (x^{3})^{\frac{2}{3}} = x^{3 \times \frac{2}{3}} = x^{2} $$ $$ (y^{-2})^{\frac{2}{3}} = y^{-2 \times \frac{2}{3}} = y^{-\frac{4}{3}} $$ Así el numerador es: $$ 4 x^{2} y^{-\frac{4}{3}} $$ Paso 3: Simplifica el denominador: $$ (2x^{-1} y)^{2} = 2^{2} (x^{-1})^{2} y^{2} = 4 x^{-2} y^{2} $$ Paso 4: Escribe el cociente completo: $$ \frac{4 x^{2} y^{-\frac{4}{3}}}{4 x^{-2} y^{2}} $$ Paso 5: Simplifica el coeficiente (4 entre 4): $$ \frac{4}{4} = 1 $$ Paso 6: Aplica las propiedades de potencias al dividir las variables con la misma base restando exponentes: $$ x^{2} / x^{-2} = x^{2 - (-2)} = x^{4} $$ $$ y^{-\frac{4}{3}} / y^{2} = y^{-\frac{4}{3} - 2} = y^{-\frac{4}{3} - \frac{6}{3}} = y^{-\frac{10}{3}} $$ Paso 7: El resultado final es: $$ x^{4} y^{-\frac{10}{3}} = \frac{x^{4}}{y^{\frac{10}{3}}} $$ --- 2. Simplifica la expresión racional: $$ \frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 4x + 4} $$ Paso 1: Factoriza el numerador y denominador: Numerador: $$ x^{2} - 16 = (x - 4)(x + 4) $$ Denominador: $$ x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^2 $$ Paso 2: Reescribe la fracción: $$ \frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 2)^2} $$ No hay factores comunes para simplificar. Resultado final: $$ \frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 2)^2} $$