1. السؤال 3: أ. نعلم أن عدد سكان المدينة سنة 2020 هو 200000 نسمة، ومعدل الزيادة السنوي هو 1.2%. دالة النمو الأسّي تأخذ الشكل $$P(t)=P_0(1+r)^t$$ حيث: - $$P_0=200000$$ هي عدد السكان الابتدائي. - $$r=0.012$$ معدل النمو السنوي. - $$t$$ عدد السنوات منذ 2020. إذن دالة عدد السكان هي: $$P(t)=200000(1.012)^t$$ ب. لحساب عدد السكان عام 2030، نحسب $$t=2030-2020=10$$ سنوات. نعوّض في الدالة: $$P(10)=200000(1.012)^{10}$$ نحسب القيمة العددية: $$P(10)=200000\times (1.012)^{10}\approx 200000\times 1.126825=225365$$ نسمة تقريباً. 2. السؤال 4: الدالة المعطاة لقيمة السيارة بعد $$t$$ سنوات هي: $$y=120000(0.84)^t$$ (بالريالات) i. لإيجاد سعر السيارة بعد 5 سنوات، نعوّض $$t=5$$: $$y(5)=120000(0.84)^5$$ نحسب القيمة: $$y(5)=120000\times 0.418211328=50185.36$$ ريال تقريباً. ii. معدل الاضمحلال النصف سنوي: الدالة تعطي قيمة بعد أعوام كاملة، ونريد إيجاد معدل الاضمحلال لنصف السنة. معنى ذلك: $$y=120000 \times (0.84)^t$$ حيث $$t$$ بالسنوات. نعلم أن القيمة تنخفض بمقدار 0.84 بعد سنة واحدة، ونريد إيجاد $$r$$ بحيث: $$ (1-r)^2 = 0.84 $$ لأن نصف سنة مضاعفتين يعطي سنة. نأخذ الجذر التربيعي: $$ 1-r = \sqrt{0.84} \approx 0.9165 $$ إذن: $$ r = 1 - 0.9165 = 0.0835 $$ أي أن معدل الاضمحلال نصف سنوي هو تقريباً 8.35%. 3. السؤال 5: i. عدد السكان الابتدائي هو 6000، ومعدل النمو السنوي 2.1% = 0.021 إذن دالة النمو هي: $$ P(t) = 6000 (1.021)^t $$ حيث $$t$$ بعدد السنوات. ii. لإيجاد معدل النمو الشهري، نفترض أن النمو المستمر متساوي كل شهر. كل سنة 12 شهر. نريد $$r_m$$ بحيث: $$ (1 + r_m)^{12} = 1.021 $$ نأخذ الجذر 12: $$ 1 + r_m = (1.021)^{\frac{1}{12}} \approx 1.00173 $$ إذن: $$ r_m = 0.00173 $$ أو 0.173% شهرياً. النتائج النهائية: - دالة النمو للسؤال 3: $$P(t)=200000(1.012)^t$$ - عدد السكان عام 2030: $$225365$$ - سعر السيارة بعد 5 سنوات: $$50185.36$$ - معدل الاضمحلال نصف سنوي: $$8.35\%$$ - دالة النمو للسؤال 5: $$P(t)=6000(1.021)^t$$ - معدل النمو الشهري للسؤال 5: $$0.173\%$$