1. Задача: Решить уравнение $$\sqrt[4]{0,04^x} = 125^{x-2}$$. 2. Формулы и правила: - Корень четвёртой степени можно записать как степень с дробным показателем: $$\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$$. - Степени с одинаковыми основаниями можно приравнивать, если основания положительны и не равны 1. 3. Преобразуем левую часть: $$\sqrt[4]{0,04^x} = (0,04^x)^{\frac{1}{4}} = 0,04^{\frac{x}{4}}$$ 4. Запишем 0,04 и 125 в виде степеней с основанием 10 или 5: $$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{2^2}{10^2} = (2/10)^2 = (\frac{1}{5})^2 = 5^{-2}$$ $$125 = 5^3$$ 5. Подставим: $$0,04^{\frac{x}{4}} = (5^{-2})^{\frac{x}{4}} = 5^{-\frac{2x}{4}} = 5^{-\frac{x}{2}}$$ 6. Правая часть: $$125^{x-2} = (5^3)^{x-2} = 5^{3(x-2)} = 5^{3x - 6}$$ 7. Приравниваем степени с основанием 5: $$-\frac{x}{2} = 3x - 6$$ 8. Решаем уравнение: $$-\frac{x}{2} - 3x = -6$$ $$-\frac{x}{2} - \frac{6x}{2} = -6$$ $$-\frac{7x}{2} = -6$$ $$7x = 12$$ $$x = \frac{12}{7}$$ Ответ: $$x = \frac{12}{7}$$ (вариант D).