1. ננסח את הנתונים עבור חומר ב'. ההכמות קטנה בצורה מעריכית לפי הנוסחה: $$Q(t)=Q_0(1-r)^t$$ כאשר $r$ הוא שיעור הירידה השנתי. 2. נתון כי מ-300 גרם נשארו 120 גרם לאחר 4 שנים: $$120=300(1-r)^4$$ 3. נחלק ב-300 ונקבל: $$\frac{120}{300}=(1-r)^4$$ $$0.4=(1-r)^4$$ 4. נמצא את השורש הרביעי: $$(1-r)= 0.4^{\frac{1}{4}}$$ חישוב: $$0.4^{0.25}\approx 0.7962$$ 5. נבודד את $r$: $$r=1-0.7962=0.2038$$ כלומר, חומר ב' קטן בכ-20.38% בשנה. --- 6. ב. נפעל לפי הנתון: זמן מחצית החיים של חומר א' שווה לזמן שבו נשארה חמישית מכמות חומר ב'. 7. נסמן את שיעור הירידה השנתי של חומר א' ב-$s$. 8. זמן מחצית החיים הוא $t_{1/2}$ כאשר: $$\text{חומר א': } (1-s)^{t_{1/2}}=0.5$$ 9. זמן שבו חומר ב' נשארה חמישית: $$0.4^{\frac{1}{4}} = 1-r$$ מהנתון בשאלה, זמן $t$ כזה ש: $$(1-r)^t=0.2$$ נקבל את $t$: $$t= \frac{\ln(0.2)}{\ln(1-r)}$$ 10. מכיוון שזמן מחצית החיים של חומר א' שווה לזמן של שבירת החמשית של חומר ב', נקבל: $$\frac{\ln(0.5)}{\ln(1-s)} = \frac{\ln(0.2)}{\ln(1-r)}$$ 11. נבודד ונצא לחישוב עבור $s$: $$\ln(1-s) = \ln(0.5) \cdot \frac{\ln(1-r)}{\ln(0.2)}$$ 12. נחזור לערכים מספריים: $$\ln(1-r) = \ln(0.7962) \approx -0.2274$$ $$\ln(0.2) \approx -1.6094$$ $$\ln(0.5) \approx -0.6931$$ 13. נמצא: $$\ln(1-s) = -0.6931 \times \frac{-0.2274}{-1.6094} = -0.6931 \times 0.1413 = -0.0979$$ 14. נמצא $1-s$: $$1-s = e^{-0.0979} \approx 0.9067$$ 15. כך נקבל: $$s = 1 - 0.9067 = 0.0933$$ כלומר, חומר א' קטן בכ-9.33% בשנה. --- 16. ג. זמן מחצית החיים של חומר ב' הוא: $$t_b = \frac{\ln(0.5)}{\ln(1-r)} = \frac{-0.6931}{\ln(0.7962)} = \frac{-0.6931}{-0.2274} \approx 3.047 \text{ שנים}$$ 17. זמן שבו חומר ג' מאבד חמישית מכמותו (זמן $t_g$) הוא: $$Q_g(t_g) = Q_0(1-p)^{t_g} = 0.8 Q_0$$ $$\Rightarrow (1-p)^{t_g} = 0.8$$ 18. זמן מחצית החיים של חומר ג' ($t_{1/2}^g$) הוא זמן שבו: $$(1-p)^{t_{1/2}^g} = 0.5$$ 19. נתון כי זמן מחצית החיים של חומר ב' גדול ב-20% מזמן שבו חומר ג' מאבד חמישית: $$t_b = 1.2 t_g$$ 20. נבודד ונחשב את $t_g$: $$t_g = \frac{t_b}{1.2} = \frac{3.047}{1.2} = 2.539 \text{ שנים}$$ 21. נחשב את $p$: $$0.8 = (1-p)^{2.539}$$ $$1-p = 0.8^{\frac{1}{2.539}}$$ 22. חישוב ונמצא: $$1-p = e^{\frac{\ln(0.8)}{2.539}} = e^{-0.1006} = 0.9043$$ 23. לכן: $$p = 1 - 0.9043 = 0.0957$$ 24. זמן מחצית החיים של חומר ג' הוא: $$t^g_{1/2} = \frac{\ln(0.5)}{\ln(1-p)} = \frac{-0.6931}{\ln(0.9043)} = \frac{-0.6931}{-0.1006} \approx 6.89 \text{ שנים}$$ --- **תשובות סופיות:** - א. חומר ב' קטן בכ-20.38% בשנה. - ב. חומר א' קטן בכ-9.33% בשנה. - ג. זמן מחצית החיים של חומר ג' הוא כ-6.89 שנים.