1. Planteamos el problema: tenemos el quinto término en la expansión binomial $$ (ax + by)^n $$ dado por $$ 560 x^3 y^4 $$ y queremos encontrar los valores enteros de $$a$$ y $$b$$. 2. Recordemos que el término general en la expansión de $$ (ax + by)^n $$ es $$ T_{k+1} = \binom{n}{k} (ax)^{n-k} (by)^k $$ 3. En este caso, el quinto término corresponde a $$ k=4 $$, ya que empezamos con $$ k=0 $$ para el primer término. 4. Por lo tanto, $$ T_5 = \binom{n}{4} a^{n-4} b^4 x^{n-4} y^4 = 560 x^3 y^4 $$ 5. Igualmente, los exponentes de $$x$$ y $$y$$ del término dado son 3 y 4 respectivamente, entonces $$ n-4 = 3 \Rightarrow n = 7 $$ 6. Entonces el quinto término es $$ T_5 = \binom{7}{4} a^{3} b^4 x^3 y^4 = 560 x^3 y^4 $$ 7. Calculamos el coeficiente binomial: $$ \binom{7}{4} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 $$ 8. La expresión para el coeficiente es: $$ 35 a^3 b^4 = 560 $$ 9. Simplificamos: $$ a^3 b^4 = \frac{560}{35} = 16 $$ 10. Buscamos enteros $$a$$ y $$b$$ tales que $$ a^3 b^4 = 16 $$. 11. Como $$16 = 2^4$$, probemos factorizaciones de la forma: - $$b^4 = 1$$ y $$a^3 = 16$$ no es posible porque $$16$$ no es un cubo perfecto. - $$b^4 = 16$$ y $$a^3 =1$$, entonces $$b=\pm 2$$ y $$a=\pm 1$$. 12. Probamos con $$b = 2$$ y $$a=1$$: $$ 1^3 \times 2^4 = 16 $$ correcto. 13. También se pueden elegir signos negativos que cumplen la ecuación: - Si $$b = -2$$, $$b^4 = 16$$ porque es potencia par. - Si $$a = -1$$, $$a^3 = -1$$ y no satisface el producto positivo 16. 14. Por ende, solo $$a=1$$ o $$a=-1$$ y $$b=2$$ o $$b=-2$$ funcionan, pero para que el producto sea positivo, $$a$$ debe ser positivo cuando $$b$$ es positivo o $$a$$ negativo cuando $$b$$ es negativo. Correctamente, los valores posibles son: - $$a=1, b=2$$ - $$a=1, b=-2$$ 15. Resultado final: $$ a = \pm 1 $$ $$ b = \pm 2 $$