1. El problema consiste en expandir el binomio $\left(x + y\right)^3$ sin usar el Teorema del Binomio de Newton, es decir, sin usar coeficientes binomiales directos. 2. Empezamos recordando que elevar un binomio al cubo significa multiplicar tres veces el mismo binomio: $$\left(x + y\right)^3 = (x + y)(x + y)(x + y)$$ 3. Primero multiplicamos los dos primeros binomios: $$ (x + y)(x + y) = x \cdot x + x \cdot y + y \cdot x + y \cdot y = x^2 + xy + yx + y^2 $$ Como $xy = yx$, podemos escribir: $$ x^2 + 2xy + y^2 $$ 4. Ahora multiplicamos este resultado por el tercer binomio: $$ (x^2 + 2xy + y^2)(x + y) $$ 5. Hacemos la multiplicación término a término: - $x^2 \cdot x = x^3$ - $x^2 \cdot y = x^2 y$ - $2xy \cdot x = 2x^2 y$ - $2xy \cdot y = 2xy^2$ - $y^2 \cdot x = x y^2$ - $y^2 \cdot y = y^3$ 6. Sumamos todos los términos: $$ x^3 + x^2 y + 2x^2 y + 2x y^2 + x y^2 + y^3 $$ 7. Agrupamos términos semejantes: $$ x^3 + (x^2 y + 2x^2 y) + (2x y^2 + x y^2) + y^3 = x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3 $$ 8. Por lo tanto, la expansión del binomio $\left(x + y\right)^3$ es: $$\boxed{x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3}$$