### Exercice 1 1) Problème : Trouver la bonne équation dont $\sqrt{5}$ est solution. 2) Problème : Calculer la valeur de $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2$. 3) Problème : Trouver l'inverse de $3 - 2\sqrt{2}$. --- 1. Vérifions chaque proposition avec $x = \sqrt{5}$ : - a) $x^2 - 5 < 0$ \: $$(\sqrt{5})^2 - 5 = 5 - 5 = 0$$ donc $0 < 0$ est faux. - b) $(1 - \sqrt{5})x + 5 - \sqrt{5} = 0$ : $$ (1 - \sqrt{5})\sqrt{5} + 5 - \sqrt{5} = \sqrt{5} - 5 + 5 - \sqrt{5} = 0 $$ Vrai. - c) $\sqrt{5} - 2x \geq 0$ pour $x=\sqrt{5}$ : $$ \sqrt{5} - 2\sqrt{5} = -\sqrt{5} < 0 $$ faux. Donc la réponse correcte est **1b**. 2. Calculons $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2$ : $$ (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{6} + 3 = 5 - 2\sqrt{6} $$ La réponse correcte est **3c**. 3. Trouvons l'inverse de $3 - 2\sqrt{2}$ : $$ \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{(3)^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2} $$ La réponse correcte est **3c**. --- ### Exercice 2 1) Résolvons $3x - \frac{1}{x} = 6x - \frac{1}{2x} - 8$ 1. Multiplions par $2x$ pour éliminer les dénominateurs ($x \neq 0$) : $$ 2x(3x - \frac{1}{x}) = 2x(6x - \frac{1}{2x} - 8) $$ $$ 6x^2 - 2 = 12x^2 -1 - 16x $$ 2. Regroupons tous les termes à gauche : $$ 6x^2 - 2 - 12x^2 + 1 + 16x = 0 $$ $$ -6x^2 + 16x - 1 = 0 $$ 3. Multipliant par $-1$ : $$ 6x^2 - 16x + 1 = 0 $$ 4. Calculons le discriminant : $$ \Delta = (-16)^2 - 4 \times 6 \times 1 = 256 - 24 = 232 $$ 5. Les solutions sont : $$ x = \frac{16 \pm \sqrt{232}}{2 \times 6} = \frac{16 \pm 2\sqrt{58}}{12} = \frac{8 \pm \sqrt{58}}{6} $$ --- 2) Résolvons $|20x - 7| = |2x + 5|$ On a deux cas : - Cas 1 : $20x - 7 = 2x + 5$ alors $$ 18x = 12 \Rightarrow x = \frac{2}{3} $$ - Cas 2 : $20x - 7 = -(2x+5)$ alors $$ 20x - 7 = -2x - 5 \Rightarrow 22x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{11} $$ --- 3) Résolvons $\sqrt{x^2 + 4x + 4} = 5$ 1. Remarquons que : $$ x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 $$ 2. Donc : $$ |x+2| = 5 $$ 3. Cela donne deux cas : $$ x+2 = 5 \Rightarrow x=3 $$ $$ x+2 = -5 \Rightarrow x=-7 $$ --- 4) Résolvons $\sqrt{4 + 2x \sqrt{1 - x + 1}} = $ (l'expression est incomplète, il manque une partie. Merci de préciser pour compléter).