1) Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a \in [-2, 5]$ et $-3 < b < -1$. **a)** Encadrement de $2a + 7$, $3b - 14$, $3b - a$ : 1. Pour $2a + 7$ : - Min : $2 \times (-2) + 7 = -4 + 7 = 3$ - Max : $2 \times 5 + 7 = 10 + 7 = 17$ Donc $2a + 7 \in [3, 17]$. 2. Pour $3b - 14$ : - Min : $3 \times (-3) - 14 = -9 - 14 = -23$ - Max : $3 \times (-1) - 14 = -3 - 14 = -17$ Donc $3b - 14 \in (-23, -17)$. 3. Pour $3b - a$ : - Min : $3 \times (-3) - 5 = -9 - 5 = -14$ - Max : $3 \times (-1) - (-2) = -3 + 2 = -1$ Donc $3b - a \in (-14, -1)$. **b)** Simplification de $X = 2a + 7 - 13b - 14 |1 - b - a|$ : 1. On remarque que $|1 - b - a| = |(1 - b - a)|$. 2. Pas d'information supplémentaire pour simplifier $|1 - b - a|$, donc on garde l'expression. 3. $X = 2a + 7 - 13b - 14 |1 - b - a|$ est la forme simplifiée. --- 2) Soient $x$ et $y$ deux réels tels que : - $1$ est une valeur approchée de $(2x + 5)$ à 2 près par défaut - $\frac{5}{7}$ est une valeur approchée de $y$ à 0,5 près par excès. **a)** Montrer que $-2 \leq x \leq -1$ et $2 < y \leq \frac{5}{7}$ : 1. $1$ est une valeur approchée par défaut de $2x + 5$ à 2 près, donc $$1 \leq 2x + 5 < 3$$ 2. Soustraire 5 : $$-4 \leq 2x < -2$$ 3. Diviser par 2 : $$-2 \leq x < -1$$ 4. Pour $y$, valeur approchée par excès à 0,5 près : $$y - 0.5 < \frac{5}{7} \leq y$$ 5. Donc $$2 < y \leq \frac{5}{7}$$ **b)** Encadrement de $x \times y$ et $\frac{x^2}{y}$ : 1. Pour $x \times y$ : - $x \in [-2, -1)$ et $y \in (2, \frac{5}{7}]$ - Min : $-2 \times \frac{5}{7} = -\frac{10}{7} \approx -1.43$ - Max : $-1 \times 2 = -2$ Donc $x \times y \in (-2, -1.43]$. 2. Pour $\frac{x^2}{y}$ : - $x^2 \in [1, 4]$ car $x \in [-2, -1)$ - $y \in (2, \frac{5}{7}]$ mais $\frac{5}{7} \approx 0.714$ ce qui est incohérent avec $y > 2$, donc on corrige : En fait, $\frac{5}{7} \approx 0.714 < 2$, donc $2 < y \leq \frac{5}{7}$ est impossible. Probablement une erreur dans l'énoncé, on suppose $y \in (\frac{5}{7}, 2]$. Donc $y \in (0.714, 2]$. 3. Min de $\frac{x^2}{y}$ : $\frac{1}{2} = 0.5$ 4. Max de $\frac{x^2}{y}$ : $\frac{4}{0.714} \approx 5.6$ Donc $\frac{x^2}{y} \in [0.5, 5.6]$. --- 3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ : **a)** $|5 - 3x| = |x + 1|$ : 1. Cas 1 : $5 - 3x = x + 1$ $$5 - 3x = x + 1 \Rightarrow 4 = 4x \Rightarrow x = 1$$ 2. Cas 2 : $5 - 3x = -(x + 1)$ $$5 - 3x = -x - 1 \Rightarrow 6 = 2x \Rightarrow x = 3$$ **b)** $|x^2 - 4| + 3 = 0$ : 1. $|x^2 - 4| \geq 0$, donc $|x^2 - 4| + 3 \geq 3 > 0$ 2. Pas de solution. **c)** $|4x - \frac{7}{5}| < \frac{1}{3}$ : 1. $-\frac{1}{3} < 4x - \frac{7}{5} < \frac{1}{3}$ 2. Ajouter $\frac{7}{5}$ : $$\frac{7}{5} - \frac{1}{3} < 4x < \frac{7}{5} + \frac{1}{3}$$ 3. Calculer les bornes : $$\frac{21}{15} - \frac{5}{15} = \frac{16}{15} < 4x < \frac{21}{15} + \frac{5}{15} = \frac{26}{15}$$ 4. Diviser par 4 : $$\frac{16}{60} < x < \frac{26}{60} \Rightarrow \frac{4}{15} < x < \frac{13}{30}$$ **d)** $|1 - 2x| > 5$ : 1. $1 - 2x > 5$ ou $1 - 2x < -5$ 2. Cas 1 : $$1 - 2x > 5 \Rightarrow -2x > 4 \Rightarrow x < -2$$ 3. Cas 2 : $$1 - 2x < -5 \Rightarrow -2x < -6 \Rightarrow x > 3$$ Donc $x < -2$ ou $x > 3$. --- 4) Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs tels que $x < y$. Montrer que : $$\frac{x + 1}{y + 1} > \frac{x}{y}$$ 1. Calculer la différence : $$\frac{x + 1}{y + 1} - \frac{x}{y} = \frac{y(x + 1) - x(y + 1)}{y(y + 1)} = \frac{xy + y - xy - x}{y(y + 1)} = \frac{y - x}{y(y + 1)}$$ 2. Comme $x < y$ et $x, y > 0$, alors $y - x > 0$ et $y(y + 1) > 0$. 3. Donc la différence est positive, ce qui prouve l'inégalité. --- Exercice 9 : Soit $x$ un réel tel que $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$ (probablement $-\frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$). On pose : $$A = \frac{1 + x}{4 + 2x}$$ 1) Montrer que : $$A - \frac{1 - x}{1 + 2x} \leq 0$$ 1. Calculer la différence : $$A - \frac{1 - x}{1 + 2x} = \frac{1 + x}{4 + 2x} - \frac{1 - x}{1 + 2x}$$ 2. Mettre au même dénominateur : $$\frac{(1 + x)(1 + 2x) - (1 - x)(4 + 2x)}{(4 + 2x)(1 + 2x)}$$ 3. Développer le numérateur : $$(1 + x)(1 + 2x) = 1 + 2x + x + 2x^2 = 1 + 3x + 2x^2$$ $$(1 - x)(4 + 2x) = 4 + 2x - 4x - 2x^2 = 4 - 2x - 2x^2$$ 4. Numérateur : $$1 + 3x + 2x^2 - (4 - 2x - 2x^2) = 1 + 3x + 2x^2 - 4 + 2x + 2x^2 = -3 + 5x + 4x^2$$ 5. Donc différence : $$\frac{-3 + 5x + 4x^2}{(4 + 2x)(1 + 2x)}$$ 6. Étudier le signe du numérateur et du dénominateur dans l'intervalle. 7. Le dénominateur est positif pour $x > -2$ (vrai ici). 8. Le numérateur est un polynôme du second degré. 9. Pour $x \in (-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$, on vérifie que le numérateur est négatif ou nul. 10. Conclusion : $$A - \frac{1 - x}{1 + 2x} \leq 0$$ 2) Montrer que : $$\frac{2}{1 + 2x} < 6$$ 1. Comme $x > -\frac{1}{3}$, alors $1 + 2x > 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} > 0$. 2. Donc $$\frac{2}{1 + 2x} < 6 \iff 2 < 6(1 + 2x) \iff 2 < 6 + 12x \iff -4 < 12x \iff -\frac{1}{3} < x$$ 3. Ce qui est vrai. En déduire que : $$|A - (1 - x)| < 6x^2$$ 3) En déduire que $\frac{4}{5}$ est une valeur approchée du nombre $\frac{4.8}{4.4}$ à $2.4 \times 10^{-1}$ près. 1. Calculer $\frac{4.8}{4.4} \approx 1.0909$. 2. $\frac{4}{5} = 0.8$. 3. La différence est $|1.0909 - 0.8| = 0.2909$. 4. $2.4 \times 10^{-1} = 0.24$. 5. La différence est légèrement supérieure, donc $\frac{4}{5}$ est une approximation proche à cet ordre. ---