1. **Exercice 2 - Problème 1** Déterminer la fonction polynôme du second degré $f$ telle que : $f(0)=4$, $f'(0)=3$ et $f(1)=3$. 1. Posons $f(x) = ax^2 + bx + c$. 2. $f(0) = c = 4$. 3. Dérivée : $f'(x) = 2ax + b$, donc $f'(0) = b = 3$. 4. $f(1) = a + b + c = 3$, donc $a + 3 + 4 = 3$ d'où $a = -4$. 5. La fonction recherchée est $$f(x) = -4x^2 + 3x + 4$$. 2. **Exercice 2 - Problème 2.a** Soit $f(x) = ax + b + \frac{1}{3 - x}$. Calculer $a$ et $b$ tels que $f(2) = 2$ et $f'(2) = 0$. 1. $f(2) = 2a + b + \frac{1}{3-2} = 2a + b + 1 = 2$, donc $2a + b = 1$. 2. $f'(x) = a + \frac{1}{(3 - x)^2}$ donc $f'(2) = a + 1 = 0$, donc $a = -1$. 3. Substituons $a$ dans $2a + b =1$ : $2(-1) + b =1$ donc $b = 3$. 3. **Exercice 2 - Problème 2.b** Équation de la tangente en $x=2$. 1. $f(2) = 2$ (donné), $f'(2) = 0$. 2. Équation : $y = f'(2)(x-2) + f(2) = 0(x-2) + 2 = 2$. 3. La tangente est la droite horizontale $y=2$. 4. **Exercice 2 - Problème 3** Soit $f(x) = \frac{ax^2 + bx + b}{2x}$. Déterminer $a$ et $b$ pour que $f(0) = 3$ et tangente en $A(0,3)$ d'équation $y=4x+3$. 1. Pour $x\to 0$, définir la limite de $f(x)$ : $f(x) = \frac{ax^2 + bx + b}{2x} = \frac{a x^2}{2x} + \frac{b x}{2x} + \frac{b}{2x} = \frac{a x}{2} + \frac{b}{2} + \frac{b}{2x}$. Le terme en $\frac{b}{2x}$ diverge sauf si $b=0$. 2. Pour que $f(0)$ soit défini et égal à 3, il faut $b=0$. 3. Alors $f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{a x^2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{a x}{2} = 0$, or $f(0)=3$, impossible si $b=0$. L'énoncé semble erroné ou nécessite une autre interprétation. Considérons $f(x) = \frac{a x^2 + b x + b}{x + x} = \frac{a x^2 + b x + b}{2x}$, donc domaine exclus $x=0$. La condition $f(0) = 3$ ne peut pas être directement satisfaite car $x=0$ n'est pas dans le domaine. 5. **Exercice 2 - Problème 4.a** $f(x) = 2x^2 + a x^2 + 3 = (2+a) x^2 + 3$ Dérivée : $f'(x) = 2(2+a) x$ Tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 signifie $f'(1) = 0$. Donc $2(2+a) \times 1 = 0 \Rightarrow 2+a=0 \Rightarrow a = -2$. 6. **Exercice 2 - Problème 4.b** Avec $a = -2$, $f(x) = 2x^2 - 2x^2 + 3 = 3$, fonction constante. Variations : fonction constante $3$, donc pas d'extremum à proprement parler. 7. **Problème 1** Soit $f(x) = x \sqrt{x-3}$ sur $[3, +\infty[$. (a) Continuité en $x=3$ : $f(3) = 3 \sqrt{0} = 0$, racine définie et fonction produit de fonctions continues donc $f$ est continue sur $[3, +\infty[$. (b) $f$ strictement monotone sur $[3, +\infty[$. $\sqrt{x-3}$ est croissante sur $[3, +\infty[$ et $x$ est croissante. La fonction produit de deux fonctions croissantes est strictement croissante donc $f$ est strictement monotone croissante. (c) Ensemble image : pour $x=3$, $f(3) = 0$ ; lorsque $x \to +\infty$, $f(x) \approx x \sqrt{x}$ croît vers $+\infty$. Donc image est $[0, +\infty[$. 8. **Problème 1 - 2.a** Montrer que l'équation $\sqrt{x-3} = \frac{4}{x}$ a une unique solution réelle. Posons $x \ge 3$ pour définir $\sqrt{x-3}$. Posons $g(x) = \sqrt{x-3} - \frac{4}{x}$. Pour $x=3$, $g(3) = 0 - \frac{4}{3} < 0$. Pour $x$ grand, $\sqrt{x-3} \to +\infty$, $\frac{4}{x} \to 0$, donc $g(x) > 0$ pour grand $x$. $g$ est continue sur $[3, +\infty[$ donc change de signe une fois. La fonction $g$ est strictement croissante (car $\sqrt{x-3}$ croît plus vite que $4/x$ descend), donc une unique solution $x_0$ existe. 9. **Problème 1 - 2.b** Encadrement à $10^{-2}$ près de la solution. Approximations numériques : - Calculons $g(4) = \sqrt{1} - 4/4 = 1 -1 =0$. - $g(3.9) = \sqrt{0.9} - 4/3.9 \approx 0.9487 - 1.0256 = -0.0769 <0$. - $g(4.1) = \sqrt{1.1} - 4/4.1 \approx 1.0488 - 0.9756 = 0.0732 >0$. Donc $x_0 \in [3.9, 4.1]$. Plus précis, la solution est proche de 4, donc encadrement $[3.9, 4.1]$ suffit pour $10^{-2}$. 10. **Problème 2 - 1** $f(x) = \frac{x^3 + 4 x^2}{x+1}$. Domaine : $x \neq -1$ puisque dénominateur nul. 11. **Problème 2 - 2** Décomposition : $f(x) = ax + b + \frac{c}{x+1}$. Effectuons la division euclidienne : Divisons $x^3 + 4x^2$ par $x + 1$. 1. $x^3 \div x = x^2$, multiplier $x^2 (x+1) = x^3 + x^2$, soustraire, reste $4x^2 - x^2 = 3x^2$. 2. $3x^2 \div x = 3x$, multiplier $3x (x+1) = 3x^2 + 3x$, soustraire, reste $-3x$. 3. $-3x \div x = -3$, multiplier $-3 (x+1) = -3x -3$, soustraire, reste $3$. Donc $f(x) = x^2 + 3x -3 + \frac{3}{x+1}$. On déduit donc $a = 0$, $b = 0$, $c = 3$ n'est pas conforme. Mais selon la forme demandée $f(x) = a x + b + \frac{c}{x+1}$, on peut écrire: $ax + b + \frac{c}{x+1} = (x^2 + 3x -3) + \frac{3}{x+1}$ n'est pas possible. Il faut que $ax + b = x^2 + 3x -3$ ce qui est impossible car membre de degré 2. Donc probablement une erreur dans la question ou $a$, $b$ et $c$ doivent être trouvés pour $f(x) = a x^2 + b x + c + \frac{d}{x+1}$. Sinon, la décomposition est $f(x) = x^2 + 3x -3 + \frac{3}{x+1}$.