1. Énoncé du problème 1.1 : Résoudre dans ℝ les systèmes (E1) : $ (x+1)^2 + y + x -1=0 $ et (E2) : $ (x+y)^2 = 1 $, puis (E1) alternatif : $ \frac{x}{1} + x + y -1=0 $ et (E2) : $ (x+y)^2=1 $. 2. Résolution (E1) et (E2) premier système : - (E2) donne $ x + y = \pm 1 $. - Posons $ s = x + y $ alors $ s = \pm 1 $. - (E1) s'écrit $ (x+1)^2 + y + x -1=0 \Rightarrow (x+1)^2 + (s - x) + x -1=0 $. - Simplifier : $ (x+1)^2 + s -1 = 0 $ donc $ (x+1)^2 = 1 - s $. - Si $ s=1 $, alors $ (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1 $, et $ y = s - x = 1 - (-1) = 2 $. - Si $ s=-1 $, alors $ (x+1)^2 = 2 $, $ x+1 = \pm \sqrt{2} $, donc $ x = -1 \pm \sqrt{2} $, et $ y = s - x = -1 - x $. 3. Résolution (E1) alternatif et (E2) : - (E1) alternatif est $ x + x + y -1=0 \Rightarrow 2x + y = 1 $. - (E2) donne $ (x + y)^2 = 1 $ soit $ x + y = \pm 1 $. - Posons $ t = x + y $, alors $ t=\pm 1 $. - De (E1) alternatif : $ y = 1 - 2x $ et donc $ t = x + (1 - 2x) = 1 - x $. - Donc $ t = 1 - x = \pm 1 $ d'où $ x = 1 - t $. - Si $ t=1 $, alors $ x=0 $, $ y=1 - 0=1 $. - Si $ t=-1 $, alors $ x=2 $, $ y=1 - 4 = -3 $. 4. Pour la partie 2, résolution des systèmes (E3) : $ (x-1)^2 + y = 0 $ et (E4) : $ y = x^2 - 1 $. 5. a) (E3) a une seule solution car $ y = - (x-1)^2 $, la parabole est toujours négative ou nulle, donc le graphe touche l'axe y en un seul point. 6. b) (E4) admet deux solutions car $ y = x^2 - 1 $ est une parabole ayant deux points pour une valeur donnée de y (sauf au sommet). 7. c) Les deux équations admettent une seule solution commune car l'intersection des graphes $ y = - (x-1)^2 $ et $ y = x^2 -1 $ est unique, ceci par analyse géométrique des parabolas, le point d'intersection est $ x=1 $. --- Exercice 2 : 1. Résoudre $ (x - 3)^2 + 5x + 2 = 0 $. - Développer : $ x^2 - 6x + 9 + 5x + 2 = x^2 - x + 11 = 0 $. - Le discriminant est $ \Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 11 = 1 - 44 = -43 < 0 $, aucune solution réelle. 1.a) Donc $ (x-3)^2 + 5x + 2 \neq 0 $ pour tout $ x \in \mathbb{R} $ car pas de racine réelle. 2. Résoudre sans calcul l'équation $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = x^2 + \frac{1}{y^2} = x^2 + y^2 $. - Cette expression semble mal écrite ou ambiguë, merci de préciser pour résoudre. --- Exercice 3 : 1.a) Calculer $ A(- \sqrt{2}) $ pour $ A(x) = 2x^4 - (4 + \sqrt{2})x^2 + 2 \sqrt{2} $. - $ (-\sqrt{2})^2 = 2 $, $ (-\sqrt{2})^4 = 4 $. - Donc $ A(-\sqrt{2}) = 2 \times 4 - (4 + \sqrt{2}) \times 2 + 2\sqrt{2} = 8 - 8 - 2\sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 0 $. 1.b) Résoudre $ A(x) = 0 $. - Posons $ u = x^2 $, alors $ A(x) = 2 u^2 - (4 + \sqrt{2}) u + 2 \sqrt{2} = 0 $. - Résolvons pour $ u $ avec discriminant $ \Delta_u = (4 + \sqrt{2})^2 - 4 \times 2 \times 2 \sqrt{2} = 18 + 8 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2} = 18 - 8 \sqrt{2} $. - Solutions pour $ u $ sont $ u = \frac{4 + \sqrt{2} \pm \sqrt{18 - 8 \sqrt{2}}}{4} $. - Ensuite $ x = \pm \sqrt{u} $ pour solutions réelles si $ u \geq 0 $. 1.c) Factoriser $ A(x) $. - En utilisant racine $ x = - \sqrt{2} $, $ A(x) $ admet $(x + \sqrt{2})$ comme facteur quadratique en $ x^2 $, autrement factoriser selon $ u $ obtenu. 2.a) Calculer $ B(4+\sqrt{2}) $ pour $ B(x) = x^4 + 2x - (\sqrt{2} + 3) $, calcul direct. 2.b) Montrer que $ 7(2x - \sqrt{2})(2x + \sqrt{2}) $ est un facteur. - $ (2x - \sqrt{2})(2x + \sqrt{2})=4x^2 - 2 $, donc $ 7(4x^2 - 2) = 28 x^2 - 14 $. - On doit montrer qu'il divise $ B(x) $, donc $ B(x) = (28 x^2 - 14)Q(x) $. 3. Déterminer $ D $ domaine de définition de $ R(x) = \frac{A(x)}{B(x)} $. - $ D = \{ x \in \mathbb{R} \mid B(x) \neq 0 \} $. --- Exercice sur géométrie : 1) Déterminer les coordonnées de $ K \in [OJ] \subset (D') $. 2.a) Montrer que $ M $ est milieu de $ [D K] $. 2.b) En déduire l'aire en relation avec $ M $ milieu. 3.a) Déterminer les coordonnées de $ M $ et $ N $ dans l'aire. 3.b) Montrer que $ M $ et $ N $ sont alignés. 4) Montrer que $ OJ + KB + KC + KJ = KJ $ (relation vectorielle).