1. Énoncé du problème : Trouver les solutions de l'équation \(-2x^2 + x + 1 = 0\). 2. Identifier les coefficients : \(a = -2\), \(b = 1\), \(c = 1\). 3. Calculer le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times (-2) \times 1 = 1 + 8 = 9\). 4. Puisque \(\Delta > 0\), il y a deux solutions réelles distinctes données par $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2 \times (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + 3}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$$ 5. Les solutions de l'équation sont donc \(1\) et \(-\frac{1}{2}\), ce qui correspond à la réponse D. --- 1. Énoncé : Trouver l'équation de l'axe des abscisses dans le plan muni du repère \((O; \vec{i}, \vec{j})\). 2. L'axe des abscisses correspond à la droite où l'ordonnée \(y = 0\). 3. Ainsi, l'équation cherchée est \(y = 0\), qui est la réponse C. --- 1. Énoncé : Étudier le sens de variation d'une suite \((U_n)\). 2. Une méthode est d'étudier le signe de la différence \(U_{n+1} - U_n\). 3. Donc, la réponse correcte est "On étudie le signe de \(U_{n+1} - U_n\)", réponse A. --- 1. Énoncé : Trouver les valeurs des réels \(a, b, c\) telles que $$f(x) = \frac{2x^2 - 4x + 4}{x - 1} = a x + b + \frac{c}{x - 1}$$ 2. Effectuons la division euclidienne de \(2x^2 - 4x + 4\) par \(x - 1\). Posons \(2x^2 - 4x + 4 = (x - 1)(A x + B) + r\). 3. Trouvons \(A\) et \(B\): \((x - 1)(A x + B) = A x^2 + B x - A x - B = A x^2 + (B - A) x - B\). 4. On veut que cela égale \(2x^2 - 4x + 4\), donc Équations: \(A = 2\) \(B - A = -4 \Rightarrow B = -4 + 2 = -2\) \(-B = 4 \Rightarrow -(-2) = 2\), or 2 ne vaut pas 4, donc reste un reste. 5. Calculons le reste: \((x - 1)(2x - 2) = 2x^2 - 2x - 2x + 2 = 2x^2 -4x + 2\) Le reste est \(4 - 2 = 2\). 6. Donc $$f(x) = 2x - 2 + \frac{2}{x - 1}$$ Ce qui donne \(a = 2\), \(b = -2\), \(c = 2\), correspond à réponse D. --- 1. Énoncé : Trouver \(\lim_{x \to 1^+} f(x)\) selon le graphe qui a une verticale en \(x = 1\). 2. La présence d'une asymptote verticale suggère que \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\) ou \(-\infty\). 3. D'après les options \(-\infty, +\infty, 0, -2\), la limite est \(+\infty\) en se rapprochant de \(1^+\). --- 1. Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb{R}\) : \((E1): 4x^2 - x + 3 = 0\) - Calcul du discriminant: $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 4 \times 3 = 1 - 48 = -47 < 0$$ - Pas de solution réelle. \((E2): 2x^2 - 3x - 2 = 0\) - Calcul du discriminant: $$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25 > 0$$ - Solutions: $$x_1 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ \((E3): \frac{31 + x}{27 + x} = 2\) - Multiplier: $31 + x = 2(27 + x) = 54 + 2x$ - Résoudre: $$31 + x = 54 + 2x \Rightarrow 31 - 54 = 2x - x \Rightarrow -23 = x$$ --- Réponses finales : 1. Solutions de (E): \(1\) et \(-\frac{1}{2}\) (réponse D). 2. Équation de l'axe des abscisses : \(y = 0\) (réponse C). 3. Étude du sens de variation d'une suite : signe de \(U_{n+1} - U_n\) (réponse A). 4. Valeurs \(a = 2\), \(b = -2\), \(c = 2\) (réponse D). 5. Limite \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\). 6. Solutions de \(E1\): aucune réelle, \(E2\): \(-\frac{1}{2}, 2\), \(E3\): \(x = -23\).