1. **Forme canonique** pour une fonction polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ est donnée par $$f(x)=a\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$$ avec $\Delta=b^2-4ac$. Pour chaque fonction: 1) $f(x) = x^2 - 4x + 3$ - $a=1$, $b=-4$, $c=3$ - $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4$ - Forme canonique: $$f(x) = 1 \left(x - \frac{4}{2} \right)^2 - \frac{4}{4} = (x-2)^2 -1$$ 2) $f(x) = 2x^2 - 3x + 7$ - $a=2$, $b=-3$, $c=7$ - $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 7 = 9 - 56 = -47$ - Forme canonique: $$f(x) = 2 \left(x - \frac{3}{4} \right)^2 - \frac{-47}{8} = 2 \left(x - \frac{3}{4} \right)^2 + \frac{47}{8}$$ 3) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 5x -1$ - $a=\frac{1}{2}$, $b=-5$, $c=-1$ - $\Delta = (-5)^2 - 4 \times \frac{1}{2} \times (-1) = 25 + 2 = 27$ - Forme canonique: $$f(x) = \frac{1}{2} \left(x - \frac{5}{1} \right)^2 - \frac{27}{2} = \frac{1}{2} (x-5)^2 - \frac{27}{2}$$ 4) $f(x) = 169x^2 + 13x -1$ - $a=169$, $b=13$, $c=-1$ - $\Delta = 13^2 - 4 \times 169 \times (-1) = 169 + 676 = 845$ - Forme canonique: $$f(x) = 169 \left(x + \frac{13}{338} \right)^2 - \frac{845}{676}$$ 5) $f(x)=\sqrt{3} x^2 - (1 - \sqrt{3})x + 4$ - $a=\sqrt{3}$, $b=-(1 - \sqrt{3})=\sqrt{3} -1$, $c=4$ - $\Delta = (\sqrt{3}-1)^2 - 4\sqrt{3} \times 4 = (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 16\sqrt{3} = 4 - 18\sqrt{3}$ - Forme canonique: $$f(x) = \sqrt{3} \left(x - \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \right)^2 - \frac{4-18\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$$ 6) $f(x) = x^2 + 2x + 2$ - $a=1$, $b=2$, $c=2$ - $\Delta=4 - 8 = -4$ - Forme canonique: $$f(x) = (x+1)^2 + 1$$ 7) $f(x) = 3x^2 + 12x -7$ - $a=3$, $b=12$, $c=-7$ - $\Delta = 144 + 84 = 228$ - Forme canonique: $$f(x) = 3 (x+2)^2 - 24$$ 8) $f(x)=-x^2 + x +2$ - $a=-1$, $b=1$, $c=2$ - $\Delta = 1 - 4(-1)(2) = 1+8=9$ - Forme canonique: $$f(x) = - (x - \frac{1}{-2})^2 + \frac{9}{4} = -\left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{9}{4}$$ 9) $f(x)=-3x^2 + 7x - 2$ - $a=-3$, $b=7$, $c=-2$ - $\Delta = 49 - 24 = 25$ - Forme canonique: $$f(x) = -3 \left(x - \frac{7}{6} \right)^2 + \frac{25}{12}$$ --- 2. **Discriminant $\Delta$ calculs** sont déjà faits dans l'exercice 1, les résultats succincts : 1) $4$ 2) $-47$ 3) $27$ 4) $845$ 5) $4 - 18\sqrt{3}$ 6) $-4$ 7) $228$ 8) $9$ 9) $25$ --- 3. **Résolution des équations du second degré $ax^2+bx+c=0$ :** Formule des racines: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$ 1) $-x^2 + 3x - 2 = 0$ - $a=-1$, $b=3$, $c=-2$ - $\Delta = 9 - 8 = 1$ - Racines: $$x = \frac{-3 \pm 1}{-2} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 2$$ 2) $x^2 + 4x - 21=0$ - $a=1$, $b=4$, $c=-21$ - $\Delta = 16 + 84 = 100$ - Racines: $$x = \frac{-4 \pm 10}{2} \Rightarrow x_1=3, x_2=-7$$ 3) $6x^2 - x -5=0$ - $a=6$, $b=-1$, $c=-5$ - $\Delta=1 +120=121$ - Racines: $$x=\frac{1 \pm 11}{12} \Rightarrow x_1=1, x_2=-\frac{5}{6}$$ 4) $x^2 + x + 1 = 0$ - $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, pas de racines réelles. 5) $-x^2 + 6x - 10 = 0$ - $a=-1$, $b=6$, $c=-10$ - $\Delta=36 - 40 = -4 < 0$, pas de racines réelles. 6) $9x^2 + 6x + 1=0$ - $\Delta=36 - 36=0$ - Racine double: $$x = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$$ 7) $4x^2 - 4x -50=0$ - $\Delta=16 + 800=816$ - Racines: $$x=\frac{4 \pm \sqrt{816}}{8}$$ 8) $2x^2 + 2x - 7=0$ - $\Delta=4 + 56=60$ - Racines: $$x=\frac{-2 \pm \sqrt{60}}{4}$$ 9) $x^2 + x + 1=0$ (répété) - $\Delta = -3$, pas de racines réelles. 10) $\sqrt{2}x^2 - (1-\sqrt{2})x - 1=0$ - Trouver $a=\sqrt{2}$, $b= -1 + \sqrt{2}$, $c= -1$ - $\Delta = b^2 - 4ac = ( -1+ \sqrt{2} )^2 - 4 \times \sqrt{2} \times (-1) = (1 - 2\sqrt{2} + 2) + 4\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2}$ - Racines: $$x = \frac{1 - \sqrt{2} \pm \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$$ 11) $3x^2 + 12 - 7=0 \, \to \, 3x^2 + 5=0$ - Pas de $x$, donc $x^2 = -\frac{5}{3}$ pas de racines réelles. 12) $-x^2 + x + 2 =0$ - Racines déjà calculées en 8). 13) $-2x^2 - 2x + 5=0$ - $a=-2$, $b=-2$, $c=5$ - $\Delta = 4 - 4 \times (-2) \times 5 = 4 + 40 = 44$ - Racines: $$x=\frac{2 \pm \sqrt{44}}{-4}$$ --- 4. **Somme et produit des nombres réels:** 1.a) $S=3, P=-10$ - $\Delta = S^2 - 4P = 9 + 40 = 49 >0$ deux nombres réels. 1.b) $S=5, P=6$ - $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ 1.c) $S=-6, P=9$ - $\Delta = 36 - 36 = 0$, deux racines égales. 2) $S=9, P=-70$ - $\Delta=81 + 280 = 361 >0$, solutions existent. - Racines: $$x = \frac{9 \pm 19}{2} = 14, -5$$ 3) $x^2 - 3x + 2=0$ - $x_1, x_2$ sont solutions. - $a)$ $x_1 + x_2 = 3$ - $b)$ $x_1 x_2 = 2$ - $c)$ $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{3}{2}$ - $d)$ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 = 3^2 - 2\times 2 = 9 - 4 = 5$ --- 5. **Somme et produit des trinomès:** 1.a) $x^2 - 2x + 7=0$ - Somme $S=2$, produit $P=7$ 1.b) $6x^2 - x - 5=0$ - $S=\frac{1}{6}$, $P=\frac{-5}{6}$ 1.c) $8x^2 + x + 1=0$ - $S= -\frac{1}{8}$, $P=\frac{1}{8}$ 1.d) $\sqrt{2} x^2 - (1 - \sqrt{2}) x -1=0$ - $S = \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$, $P = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ 2. Rectangle surface $=861$, périmètre $=124$ - $S = \frac{124}{2} = 62$ - $P = 861$ - Résoudre: $$x^2 - 62x + 861 = 0$$ - $\Delta = 62^2 - 4 \times 861 = 3844 - 3444 = 400$ - Racines: $$x = \frac{62 \pm 20}{2} = 41, 21$$ 3.a) $3x^2 + 7x - 10=0$ - $S = -\frac{7}{3}$ - $P= -\frac{10}{3}$ 3.b) $2x^2 + 9x + 7=0$ - $S = -\frac{9}{2}$ - $P= \frac{7}{2}$ 4. Vérifier que 2 est racine de $x^2 + 11x - 26=0$ - $f(2) = 4 + 22 - 26 = 0$ - L'autre racine par somme: $$x_1 + x_2 = -11 \Rightarrow x_2 = -11 - 2 = -13$$