1. Montrons que l'équation $$x^8 + 8x^3 + x - 3 = 0$$ admet au moins une racine réelle entre 0 et 1. Calculons $$f(0) = 0 + 0 + 0 - 3 = -3$$ et $$f(1) = 1 + 8 + 1 - 3 = 7$$. Comme $$f(0) < 0$$ et $$f(1) > 0$$, et que la fonction est continue, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un $$x\in(0,1)$$ tel que $$f(x)=0$$. 2. Déterminons le nombre de solutions réelles de l'équation $$x^3 - 3x^2 - 1 = 0$$. Étudions la dérivée $$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$$. Les points critiques sont $$x=0$$ et $$x=2$$. Calculons $$f(0) = -1$$, $$f(2) = 8 - 12 - 1 = -5$$. La fonction est croissante sur $$(-1,1)$$ puisque: - Pour $$x < 0$$, $$f'(x) > 0$$ (car $$3x(x-2) > 0$$ si $$x < 0$$ et $$x-2<0$$, produit positif) - Entre 0 et 2, $$f'(x) < 0$$ - Au-delà de 2, $$f'(x) > 0$$ Ainsi la fonction a un maximum local en 0 et un minimum local en 2. Calculons $$\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty$$ et $$\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$$. Graphiquement, la fonction passe de $$-\infty$$ à $$-1$$ en croissant, puis décroît de $$-1$$ à $$-5$$, puis croît de $$-5$$ à $$+\infty$$. On cherche les racines: La fonction coupe l'axe des abcisses 3 fois car elle descend dans un intervalle négatif entre le max et min. Donc, il y a 3 solutions réelles. 3a. Considérons $$f(x) = \frac{x^2}{x+1}$$ sur $$[-1,5[$. Domaine : $$x \neq -1$$, en fait sur $$(-1,5[$ car $$f$$ n'est pas définie en $$x = -1$$. Calcul de la dérivée: $$f'(x) = \frac{2x(x+1) - x^2\cdot1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$$. Étudions le signe de $$f'(x)$$: - Dénominateur $$>0$$ pour $$x > -1$$. - Zéros au numérateur: $$x=0$$ et $$x=-2$$ (ce dernier hors domaine considéré). Intervalle $$[-1,5[$: - Pour $$x \in (-1,0)$$, $$x < 0$$, $$x+2 > 0$$ donc $$f'(x) < 0$$. - Pour $$x \in (0,5)$$, $$f'(x) > 0$$. Donc $$f$$ décroît de $$-1^+$$ à 0, puis croît de 0 à 5. Valeurs: - $$\lim_{x\to -1^+} f(x) = +\infty$$ (car dénominateur tend vers 0+) - $$f(0) = 0$$ - $$f(5) = \frac{25}{6} \approx 4.17$$ 3b. Résolvons $$f(x) = 10$$ sur $$[-1,5[$. Équation: $$\frac{x^2}{x+1} = 10 \Rightarrow x^2 = 10(x+1) \Rightarrow x^2 - 10x - 10 = 0$$. Discriminant: $$\Delta = 100 + 40 = 140 > 0$$. Racines: $$x = \frac{10 \pm \sqrt{140}}{2} = 5 \pm \sqrt{35}$$. Valeur approximative de racines: $$5 - \sqrt{35} \approx 5 - 5.92 = -0.92$$ (dans $$[-1, 5[$) $$5 + \sqrt{35} \approx 5 + 5.92 = 10.92$$ (hors domaine). Vérification du domaine: $$-0.92 \in [-1, 5[$ donc c'est la seule racine valable. Par la croissance et décroissance de $$f$$, cette racine est unique dans cet intervalle. 4a. Étudions $$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$$ sur $$]-\infty, 0]$$. Calcul de $$f'(x)$$: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$. Sur $$]-\infty, 0]$$, $$x \leq 0$$ donc $$f'(x) \leq 0$$. Ainsi, $$f$$ est décroissante sur $$]-\infty, 0]$$. Valeurs: - $$\lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty$$ - $$f(0) = 1$$ 4b. Résolvons $$f(x) = 2$$ sur $$]-\infty, 0]$$. Équation: $$\sqrt{x^2 + 1} = 2 \Rightarrow x^2 + 1 = 4 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$$. Uniquement $$x = -\sqrt{3}$$ appartient à $$]-\infty, 0]$$. Donc, il existe une unique racine sur cet intervalle.