**Problème 3 : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes :** 1. \(\sqrt{x^2 - 2} = x\) 2. \((3x - 1)^{2/3} - 4 = 0\) 3. \(\sqrt[3]{x} - x^2 - 4x \geq 0\) --- **1) Résolution de \(\sqrt{x^2 - 2} = x\) :** 1.1 Poser la condition d'existence : \(x^2 - 2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 2 \Rightarrow |x| \geq \sqrt{2}\). 1.2 Élever les deux membres au carré (attention aux solutions extrêmes) : $$\sqrt{x^2 - 2} = x \Rightarrow x^2 - 2 = x^2.$$ 1.3 Simplifier : $$x^2 - 2 = x^2 \Rightarrow -2 = 0,$$ ce qui est impossible. 1.4 Vérifier les cas où \(x\) est négatif est exclu car \(\sqrt{x^2 - 2} \geq 0\) alors que \(x\) négatif serait moins que 0. De plus, pour \(x \geq \sqrt{2}\), l'équation initiale est équivalente à \(\sqrt{x^2 - 2} = x\), donc la seule possibilité est que $$\sqrt{x^2 - 2} = x \geq 0.$$ 1.5 Tester \(x = \sqrt{2}\) : $$\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 2} = \sqrt{2 - 2} = 0 \neq \sqrt{2}.$$ 1.6 Tester \(x > \sqrt{2} :$$ la relation \(\sqrt{x^2 - 2} = x\) implique \(x^2 - 2 = x^2\) donc aucune solution. **Conclusion : aucune solution réelle.** --- **2) Résolution de \((3x - 1)^{2/3} - 4 = 0\) :** 2.1 Poser \(y = (3x - 1)^{2/3}\), l'équation devient \(y - 4 = 0\Rightarrow y = 4\). 2.2 Résoudre : $$(3x - 1)^{2/3} = 4 \Rightarrow |3x - 1|^{2/3} = 4$$ 2.3 Élever au cube : $$|3x - 1|^{2} = 4^3 = 64$$ 2.4 Donc $$|3x - 1| = 8 \Rightarrow 3x - 1 = 8 \text{ ou } 3x - 1 = -8$$ 2.5 Résoudre les deux cas : - \(3x - 1 = 8 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3\) - \(3x - 1 = -8 \Rightarrow 3x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{3}\) **Solutions : \(x = 3\) et \(x = -\frac{7}{3}\).** --- **3) Résolution de l'inéquation \(\sqrt[3]{x} - x^2 - 4x \geq 0\) :** 3.1 Poser \(f(x) = \sqrt[3]{x} - x^2 - 4x = x^{1/3} - x^2 - 4x\). 3.2 Étudier le signe de \(f(x)\). 3.3 Tester quelques points remarquables : - Pour \(x=0\) : \(f(0) = 0 - 0 - 0 = 0\). - Pour \(x=1\) : \(f(1) = 1 - 1 - 4 = -4 < 0\). - Pour \(x = -1\) : \(f(-1) = -1 - 1 + 4 = 2 >0\). 3.4 On voit que \(f(x)\) est positif pour quelques petites valeurs négatives et nul en 0. 3.5 Pour de grandes valeurs positives, par exemple \(x=10\), \(f(10) = 10^{1/3} - 100 - 40 < 0\) car \(-x^2\) domine. 3.6 Pour grandes valeurs négatives, par exemple \(x=-10\), \(f(-10) = - 10^{1/3} - 100 + 40 \approx -2.15 - 100 + 40 = -62.15 < 0\). 3.7 Donc, la solution est dans un intervalle autour de 0 négatif. 3.8 Recherche des racines approchées ou analyse graphique pour la résolution exacte est plus complexe, on peut conclure qualitativement que : $$\boxed{f(x) \geq 0 \text{ essentiellement pour } x \in [\alpha, 0]}$$ avec \(\alpha < 0\) racine de \(f(x)\). --- **EXERCICE 2** 1-a) Prouver que \(f'(x) = 6x(x - 1)\) pour toute \(x \in \mathbb{R}\), avec \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 1\). 1.1 Calculer la dérivée : $$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(1) = 6x^2 - 6x - 0 = 6x^2 - 6x.$$ 1.2 Factoriser : $$6x^2 - 6x = 6x(x -1).$$ Donc \(f'(x) = 6x(x-1)\) est prouvé. --- 1-b) Étudier le signe de \(x(x -1)\) et dresser le tableau de variations de \(f\). 1.3 Les racines de \(x(x-1) = 0\) sont \(x=0\) et \(x=1\). 1.4 Signe de \(x(x-1)\) sur les intervalles : - pour \(x < 0\), \(x<0\) et \(x-1<0\) donc \(x(x-1) > 0\) (produit de deux négatifs). - pour \(0 < x < 1\), \(x>0\) et \(x-1<0\) donc \(x(x-1) < 0\). - pour \(x > 1\), \(x>0\) et \(x-1>0\) donc \(x(x-1) > 0\). 1.5 Signe de \(f'(x) = 6x(x-1)\) identique à celui de \(x(x-1)\). 1.6 Tableau de variations : - \(f\) croissante sur \(]-\infty, 0[\) - \(f\) décroissante sur \(]0,1[\) - \(f\) croissante sur \(]1, +\infty[\) --- 2) Déterminer les images des intervalles \(I=[0,1]\), \(J=[0,2]\), \(K=[1,+\infty[\), \(L=]-\infty,0[\). Utiliser les variations et calculer \(f\) en les points critiques : - \(f(0) = -1\) - \(f(1) = 2 - 3 -1 = -2\) - \(f(2) = 2(8) -3(4) -1 = 16 -12 -1 = 3\) 2.1 Pour \(I=[0,1]\) : \(f\) décroissante de \(-1\) à \(-2\) donc image \([-2,-1]\). 2.2 Pour \(J=[0,2]\) : de \(-1\) à \(3\) avec un minimum en 1 à \(-2\), image \([-2,3]\). 2.3 Pour \(K=[1,+\infty[\) : \(f\) croissante, minimum \(-2\) à \(+\infty\), image \([-2,+\infty[\). 2.4 Pour \(L=]-\infty,0[\) : \(f\) croissante et tend vers \(-\infty\) quand \(x\to -\infty\), image \(]-\infty,-1[\). --- 3-a) Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]1,2[\). 3.1 Calculer : - \(f(1) = -2 < 0\) - \(f(2) = 3 > 0\) 3.2 Par continuité de \(f\), il existe \(\alpha \in ]1,2[\) tel que \(f(\alpha) = 0\). 3.3 Comme \(f' > 0\) sur \(]1,+\infty[\), \(f\) est strictement croissante donc \(\alpha\) est unique. --- 3-b) Encadrement par la méthode de dichotomie avec amplitude \(25 \times 10^{-2} = 0.25\). 3.4 Démarrer avec \(a=1\), \(b=2\) où \(f(a)<0\), \(f(b)>0\), moitié \(m=1.5\). - Calculer \(f(1.5) = 2(3.375) - 3(2.25) - 1 = 6.75 - 6.75 -1 = -1 < 0\) 3.5 Comme \(f(m) < 0\), nouvel intervalle \([1.5, 2]\). 3.6 \(m=1.75\) : \(f(1.75) = 2(5.36) - 3(3.06) - 1 = 10.72 - 9.19 -1 = 0.53 > 0\) 3.7 Nouvel intervalle \([1.5, 1.75]\), amplitude \(0.25\) atteint. **Encadrement :** $$1.5 \leq \alpha \leq 1.75.$$