1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux fonctions $f$ et $g$ définies graphiquement et analytiquement : $$f(x) = \frac{9x}{x^2 + 2} \quad \text{et} \quad g(x) = \frac{1}{2}x.$$ Nous devons répondre à plusieurs questions sur leurs définitions, inéquations, équations, parité, et signes. 2. **Intervalle de définition (lecture graphique) :** Les deux fonctions semblent définies pour tous les $x$ visibles sur le graphique, donc sur un intervalle au moins $[-5, 5]$ (car question 2.a demande $x=-5$). 3. **Résolution de l'équation $f(x) = g(x)$ :** On cherche $x$ tel que $$\frac{9x}{x^2 + 2} = \frac{1}{2}x.$$ Si $x=0$, les deux côtés valent 0, donc $x=0$ est solution. Sinon, on peut diviser par $x$ (car $x \neq 0$) : $$\frac{9}{x^2 + 2} = \frac{1}{2}.$$ Multiplions par $x^2 + 2$ : $$9 = \frac{1}{2}(x^2 + 2) \Rightarrow 18 = x^2 + 2 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4.$$ 4. **Vérification de l'équivalence donnée :** L'équation $f(x) = g(x)$ est équivalente à $$x(16 - x^2) = 0,$$ ce qui donne les solutions $x=0$, $x=4$, et $x=-4$. 5. **Réponse à la question 1.c :** Les solutions sont $x = -4, 0, 4$. La lecture graphique doit confirmer ces points d'intersection. 6. **Calcul de l'ordonnée de $f$ en $x=-5$ :** $$f(-5) = \frac{9 \times (-5)}{(-5)^2 + 2} = \frac{-45}{25 + 2} = \frac{-45}{27} = -\frac{5}{3} \approx -1.666.$$ 7. **Tableau de signes de $f(x)$ :** - Le dénominateur $x^2 + 2 > 0$ pour tout $x$. - Le signe de $f(x)$ dépend du signe de $9x$, donc de $x$. - Donc $f(x) < 0$ pour $x < 0$, $f(0) = 0$, $f(x) > 0$ pour $x > 0$. 8. **Parité des fonctions :** - $f(-x) = \frac{9(-x)}{(-x)^2 + 2} = -\frac{9x}{x^2 + 2} = -f(x)$ donc $f$ est impaire. - $g(-x) = \frac{1}{2}(-x) = -\frac{1}{2}x = -g(x)$ donc $g$ est impaire. 9. **Résolution de l'inéquation $f(x) > -3$ :** $$\frac{9x}{x^2 + 2} > -3.$$ Multiplions par $x^2 + 2 > 0$ sans changer le sens : $$9x > -3(x^2 + 2) \Rightarrow 9x > -3x^2 - 6 \Rightarrow 3x^2 + 9x + 6 > 0.$$ Divisons par 3 : $$x^2 + 3x + 2 > 0.$$ Factorisons : $$(x+1)(x+2) > 0.$$ Cette inéquation est vraie pour $x < -2$ ou $x > -1$. **Résumé final :** - Intervalle de définition : $\mathbb{R}$. - Solutions de $f(x) = g(x)$ : $x = -4, 0, 4$. - $f$ et $g$ sont impaires. - $f(-5) = -\frac{5}{3}$. - Tableau de signes de $f$ : négatif pour $x<0$, nul en 0, positif pour $x>0$. - Solution de $f(x) > -3$ : $x < -2$ ou $x > -1$.