1. Écrire sous forme canonique les expressions suivantes. a) Pour $A(x) = 2x^2 - 6x + 5$ : - On factorise le coefficient devant $x^2$ : $2(x^2 - 3x) + 5$. - Complétons le carré à l'intérieur des parenthèses : $x^2 - 3x = (x - \frac{3}{2})^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$. - Donc, $A(x) = 2\left[(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\right] + 5 = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 5 = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + \frac{10}{2} = 2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}$. b) Pour $B(x) = -3x^2 + 5x$ : - Factoriser par $-3$: $-3(x^2 - \frac{5}{3}x)$. - Complétons le carré : $x^2 - \frac{5}{3}x = \left(x - \frac{5}{6}\right)^2 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \left(x - \frac{5}{6}\right)^2 - \frac{25}{36}$. - Donc, $B(x) = -3\left[\left(x - \frac{5}{6}\right)^2 - \frac{25}{36}\right] = -3\left(x - \frac{5}{6}\right)^2 + \frac{25}{12}$. c) Pour $C(x) = \frac{1}{2}x^2 + 4$ : - Cette expression est déjà quasi sous forme canonique, car il n'y a pas de terme en $x$. - La forme canonique est $C(x) = \frac{1}{2}(x - 0)^2 + 4$. 2. Résoudre les équations dans $\mathbb{R}$ : a) $2x^2 - 3 = 0$ - Isolons $x^2$: $x^2 = \frac{3}{2}$. - Les solutions sont $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$. b) $4x^2 + 12x + 9 = 0$ - Cette expression est un carré parfait : $ (2x + 3)^2 = 0$. - Solution unique : $x = -\frac{3}{2}$. c) $(x + 1)^2 = 2x^2 - 2x\sqrt{2} + 1$ - Développons le membre de gauche : $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$. - Soustrayons tous termes du membre droit : $x^2 + 2x + 1 - (2x^2 - 2x\sqrt{2} + 1) = 0$. - Simplifions : $x^2 + 2x + 1 - 2x^2 + 2x\sqrt{2} - 1 = 0 \Rightarrow -x^2 + 2x + 2x\sqrt{2} = 0$. - Factorisons $x$ : $-x^2 + 2x(1 + \sqrt{2}) = 0$. - Réarrangeons : $x^2 = 2x(1 + \sqrt{2})$. - Divisons par $x$ (avec $x \neq 0$) : $x = 2(1 + \sqrt{2})$. - Vérifions $x=0$ : $LHS = (0+1)^2=1$, RHS = $0 - 0 + 1=1$, donc $x=0$ est aussi solution. - Donc, solutions : $x=0$ et $x=2(1 + \sqrt{2})$. d) $(x + 1)(5x - 2) = 0$ - Produit nul, donc $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ ou $5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$. e) $(x - 2)(2x - 1) + (x^2 - 4) = 0$ - Développons le premier terme : $(x-2)(2x -1) = 2x^2 - x -4x + 2 = 2x^2 - 5x + 2$. - Ajoutons $x^2 - 4$ : $2x^2 -5x + 2 + x^2 -4 = 3x^2 - 5x - 2$. - Résolvons $3x^2 - 5x - 2 = 0$. - Calcul du discriminant: $\Delta = (-5)^2 - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49$. - Solutions: $x = \frac{5 \pm 7}{6}$. - Donc $x = 2$ ou $x = -\frac{1}{3}$. f) $3(x + 1)^2 = x^2 - 1$ - Développons $3(x+1)^2 = 3(x^2 + 2x +1) = 3x^2 + 6x + 3$. - Équation : $3x^2 + 6x + 3 = x^2 - 1$. - Regroupons tout à gauche : $3x^2 + 6x +3 - x^2 +1 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 6x + 4 = 0$. - Simplifions par 2 : $x^2 + 3x + 2 = 0$. - Factorisons : $(x +1)(x + 2) = 0$. - Solutions: $x = -1$ ou $x = -2$. 3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : a) $x^2 + \sqrt{2}x - 4 = 0$ - Calcul du discriminant : $\Delta = (\sqrt{2})^2 - 4 * 1 * (-4) = 2 + 16 = 18$. - Solutions : $x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{2}$. - Donc $x_1 = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ et $x_2 = \frac{-\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$. b) $x^2 + (x-2)^2 = 5$ - Développons : $x^2 + (x^2 -4x +4) = 5$. - Simplifions : $2x^2 -4x + 4 = 5$. - $2x^2 -4x +4 -5 = 0 \Rightarrow 2x^2 -4x -1=0$. - Discriminant : $\Delta = (-4)^2 - 4*2*(-1)= 16 + 8 = 24$. - Solutions : $x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$. c) $8x (x-1) = 6x + 1$ - Développons à gauche : $8x^2 - 8x = 6x + 1$. - Ramenons tout d'un côté : $8x^2 -8x -6x -1 = 0 \Rightarrow 8x^2 - 14x -1 = 0$. - Calcul du discriminant : $\Delta = (-14)^2 - 4 * 8 * (-1) = 196 + 32 = 228$. - Solutions : $x = \frac{14 \pm \sqrt{228}}{16} = \frac{14 \pm 2\sqrt{57}}{16} = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{8}$.